学会数列求和的几种常用方法
数列求和是高中数学的一个重要知识点，是高考的热点。

数列求和方法有很多，但在高考中离不开以下三种常用方法。

1、分解为等差数列与等比数列的前n 项和
【例1】求2
22222)2()12(4321n n S n --++-+-=
【解】
)12(2
2)21(]2)12(4321[]
2)12)][(2()12[()43)(43()21)(21(+-=+-
=+-+++++-=+---+++-++-=n n n
n n n n n n n S n
【例2】设数列}{n a 满足：当5≤n 时，1
2-=n n a ，当6≥n 时，12-=n a n ，求它的前n
项和n S .
【解】当5≤n 时，122
12122211
2
-=--=++++=-n n n n S ；当6≥n 时，由于前5项
成
等
比
数
列
，
从
第
6
项
起
成
等
差
数
列
，
故
)12()172()162()12(5-++-⨯+-⨯+-=n S n
62)5)(12162()12(2
5
+=--+-⨯+-=n n n S n ，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-=)
6(6)5(122
n n n S n n 【例3】求)1()1()1(11
22-+++++++++++=n n a a a a a a S
【解】当1≠a 时，a
a a a a n a a a a a a a a S n
n n -+++--=--++--+--+--=1111111111232 即2
1
)
1(1]1)1([111a a a a n a a a a a n S n n n ----=-----=+ 当1=a 时，2)1(321+=++++=n n n S n ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠----=+)
1(2
)1()1()1(12
1
a n n a a a a a n S n n
2、裂项相消法
【例4】求∑=-=n
k n k
S 1
2
1
41
【解】由于
)1
21121(211
412+--=
-k k k ，所以 12)1211(21)]121121()5131()311[(21141
1
2
+=+-=+--++-+-=-=∑
=n n n n n k S n
k n 【例5】求∑=-+=n
k n k k S 12
2
391
【解】由于
)2
31
131(3123912
+--=-+k k k k ，所以 23)23121(31)]231131()7151()5121[(312
39112
+=+-=+--++-+-=-+=∑
=n n
n n n k k S n
k n 一般地，数列}{n a 是公差d 不为零且各项不为零的等差数列，则∑=+=
n
k k k n a a S 11
1
与∑
=+=n
k k k n a a S 12
1
的求和问题都是用裂项求和法。

3、错位相减法
【例6】求1
2321-++++=n n nq q q S ，其中0≠q
【解】当0,1≠≠q q 时，在 1
2321-++++=n n nq q q S （1）式两边同乘以q 得到
n n nq q q q qS ++++= 3232 （2）
由（1）-（2）得 n n
n
n n nq q
q nq q
q q S q ---=-++++=--111)1(1
2
所以当0,1≠≠q q 时，q
nq q q S n
n n ----=1)1(12
当1=q 时，2
)
1(321+=
++++=n n n S n 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+≠----=++++=-)1(2
)1()1(1)1(132121
2q n n q q
nq q q nq
q q S n
n n n 【说明】这是“错位相减法”中最基本的示例，要求由等差数列}{n a 与等比数列}{n b 的
乘积构成的数列}{n n b a 的前n 项和时都要用到此示例的结果或方法。

【例7】求n n n S 2
12854321-++++=
【解1】n
n n S 2
1
221322122211232-++-⨯+-⨯+-⨯= 2
11)211(21
211)21()211(211)2
1212121(22322123212-
------
=
++++-++++=-n n n n n n n n
n 2
3
23+-= 【解2】在n
n n S 212854321-++++= 式中两边同乘以21
得
12
1
2165834121+-++++=n n n S 两式相减得 12
1222162824221)211(+--+++++=-n n n n S
=----+
=--+++++=∴--n n n n n n n S 2122
112111212214121111
2 n n 2323+-= 这里，解法1用了例6的结果，解法2用了例6的方法。