一质点沿半径为 R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为
S(t) bt 1 ct2 其中 b、c 是大于零的常量，试求：从 t 0 开始到
2
切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间。
解：依题意，根据运动学的相关公式：
根据题意；
v dS / dt b ct ； 又 at dv / dt c ；
（1） 质点的轨道方程；
（2） t1 1s 和 t2 2s 时的位矢、速度和加速度；
（3） t1 1s 至 t2 2s 过程中合力对质点所做的功。
解：（1）依题意，消去时间参数 t ，可得： y x2 8 ；
（2） 又
r (t) 2ti (4t2 8) j (m) ；
v(t)
dr dt
v(t)
dr (t ) dt
3t2i
4tj(m s )；a(t)
dv(t) dt
d 2r(t) dt 2
6ti
4（j m s2）。
当
t＝2（s）时，质点的速度为：
v (t
2)
12i
8
j (m
s
)
；加速
度为：a(t
2)
12i
4
j (m
s2
)
。则根据牛顿运动定律，质点所受
的合力为：
F
(t)
ma(t
质点所受的合力；（2） t 2(s) 时合力做功的功率；（3）
t 2(s) 时力 F 对坐标原点的力矩 M ；（4） t 0(s) 至
t 2(s) 时间内合力对质点冲量；（5）t 0(s) 至 t 2(s)
时间内合力对质点所作的功。
解 ：（ 1 ） 根 据 速 度 、 加 速 度 与 位 置 矢 径 之 间 关 系 ； 求 得 ：
当 t = 1s 时， v1 5i (m s) 沿 x 轴；
故这时候， 法向加速度为： an (t 1s) ay 12 j(m s2) ；
故得： Fn man 24 j(N) 。
一质量为 m 2kg 的质点在 xoy 平面内运动，运动方程
为： r
2 t 3 i 2t 2 1 j (m)。求：（1） t 2(2
F (t) dr (t)
t2
(12ti
8 j)
(3t 2i
4tj )dt
t0
t0
t
2
(36t
3
32t)dt
9t 4
16t 2
t2
144 64
208(J ) 。或根据质点
t0
t0
的动能定理：
A
F dr
Ek
1 mv 2 (t) 2
1 mv 2 (0) 2
1 mv 2 (t 2
2)
1 mv 2 (t 2
0)
1 2 v 2 (t 2) (12)2 82 208(J ) 。同样，采用两种不同的 2
方法所求的结果是相同的。
且：an v2 R b ct 2 / R ； 当 at = an 时，即： c b ct2 / R ；
解得： t R b 。
cc
如图所示，质点 P 在水平面内沿一半径为 R = 2 m 的
圆轨道转动。转动的角速度 与时间 t 的函数关系为
kt2 (k 为常量)。已知 t 2s 时，质点 P 的速
2i
8tj(m s )
；
而：
a(t)
dv dt
d 2r dt 2
8 j(m s2)
；
r1
2i
4 j(m)
r2 4i 8 j (m)
当 t1
1s
时， v1
2i
8
j(m s )
；
而当
t2
2s
时， v2
2i
16
j(m s )
；
a1 8 j (m s2 )
a2 8 j (m s2 )
)
12ti
8
j(N
)
。故得，质点在
t＝2（s）
时，质点所受的合力为：
F (t
2)
ma(t
2)
24i
8
j(N
)
；
（2）质点在 t＝2（s）时，合力做功的功率为：
p(t
2)
F
(t
2)
v (t
2)
(24i
8
j)
(12i
8
j)
352
(W
)
。
（3）当
t＝2（s）时，位置矢量为：
r (t
2)
6i
7
j (m)
；故得，所
求当 t＝2（s）时力 F (t 2) 对坐标原点的力矩为：
i
M (t 2) r (t 2) F(t 2) 6
jk
7 0 (168 48)k 120k (N m) ；
24 8 0
（4）根据合力冲量的定义式：
tt
t2
I F (t)dt (12ti 8 j)dt
t 0
t0
6t 2i
8tj
t2
24i
16 j (N
s) 。
t 0
或根据质点的动量定理：
tt
I F(t)dt P m[v(t) v(0)] 2 [12i 8 j 0] t0 = 24i 16 j(N s) 。
由此可见，两种方法所求得的结果是相同的。
（5）根据功的定义式，合力对质点所作的功为：
解：依题意，根据牛顿运动定律： a F / m 2i 12t2 j (m s2 ) ；
又因为： a dv / dt ∴ d v ( 2 i 1 22t j) d；t
v
t
dv (2i 12t2 j)dt ； 可得： v v0 2ti 4t3 j (m s) ；
v0
0
即：v v0 2ti 4t3 j (3 2t)i (4 4t3) j (m s) ；
P
O
R
度值为 32 m/s．试求 t 1s 时，质点 P 的速度与加速度的大小。
解：根据已知条件确定常量 k
k ω/ t2 v / R2t 4 ( r a d3s/ )
4t 2 ；那么， v R 4Rt2 ；
当 t 1s 时， v ( t =1s)= 4Rt2 = 8(m/s) ；
（3）根据动能定理： 故得：W
Ek
1 2
mv22
1 2
mv12
96m(J )
。
一质量为 2 kg 的质点，在 xy 平面上运动，受到外力 F 4i 24t2 j (SI)的作用，
t = 0 时，它的初速度为 v0 3i 4 j (SI)，求 t = 1 s 时质点的速度及受到的法向
力 Fn 。
at (t 1s) dv / dt 8Rt 16(m / s2 ) ；
an (t 1s) v 2 / R 32(m / s2 ) ；
a(t 1s)
at2 an2
1/ 2
35.8 (m/s2 )。
一质量为 m 的质点在 xoy 平面内运动，运动方程为 x 2t, y 4t2 8 ，试求：