数学建模一周论文野兔生长问题姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：2009年1月4日摘要：通过观察表格中野兔在连续九年的数量，利用所学数学知识分析得出野兔的生长规律，从而预测出第十年野兔的数量。

分析了野兔种群数量的统计结果，假设野兔在十年内生长环境变化稳定，但是数据显示这是不可能的，因为在两个数据点处出现了异常的增长现象。

在异常的自然条件下野兔的生长状况是不符合正常的生长律的。

因此我们先排除这两个异点，并试图揭示剩下的几组数据兔种群数量变化的规律。

模型里所给出的主要微分方程中有两个参数需要给出。

在给参数的过程中我们发现某些量值之间存在着线性函数关系式，利用计算机我求出了线性比例因子从而确定了所给出的参数。

在模型求解过程中，我们发现，对 logistic 模型赋予不同的参数会导模型的解在一定程度上的变化。

于是我们想知道参数在一定范围内的改变到底对解函数产生多大的影响？这个问题的探讨实际上是对解的可靠性的探讨，对题本身有较强的实践意义。

我们最终把这个问题归结为含参数的初值问题的微方程对初值的依赖性与对参数的依赖性问题。

在对问题的探讨中，我们避免了纯粹的数学理论，而是利用计算机给出模型的解函数在不同的初值条件下、不同参数下的表现，并利用Matlab绘制成图像，直观且清晰地反映出模型的解函数对参数与初值不同选取的表现。

在解决这个问题的途中，我们还利用到了计算方法课程所学到的知识，通过观察数据，利用插值法描出图像，近似得出函数，再得出第十年的野兔数量。

野兔生长模型1、问题重述这是一个关于野兔生长状态的模型。

我们知道研究一定空间内某一生物物种的种群数量随时间变化的规律是很有实践意义的。

通过发现规律，我们可以更有效的了解一个种群发展变化的趋势、种群对自然世界的依赖程度和种群自身的成长结构，对人类了解并掌握自然规律，利用与控制生物资源有较大意义。

人类自身作为地球上的一个物种，也在不断的探求自己的命运。

由于地球上的资源与空间有限，人类自身的种群数量（即通常意义上的人口）就变得很重要了。

事实上，早在 18 世纪末，马尔萨斯(Tho m as M althus,1766—1834)就发表了著作《人口原理》，从此激发了人们研究人口增长趋势的兴趣。

马尔萨斯在他的这本书里提出了人口按指数增长的模型，并断言人口数量最终将超出食物所能提供的容纳能力。

虽然马尔萨斯模型的假设忽略了人口增长中的一些重要因素，但是这个模型作为以后改进模型的基础是很有价值的。

从这个意义上说，我们去探索野生动物的生长规律，正如同探索人类自身的种群数量，即人口增长规律一样，显得很有价值。

我们得到的数据是某地区野兔的数量在连续十年中的统计结果，如下表：时间：年数量：十万我们要做的是通过分析所给数据，得出野兔生长的规律，即想办法用一个关于时间的函数来表达野兔的数量。

并预测 T=10 时野兔的数量。

2、问题的分析增长百分比/ 131.97% 94.36% 53.17%-13.04%-7.33% -4.26%41.91%18.23%7.19%我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为 b，类似的兔子死亡率的百分比为 c。

换句话，新的兔子数 P(t+Δt)是原有兔子数 P(t)加上在Δt 时间内新增兔子数减去死亡兔子数，即P(t+Δt)=P(t)+bP(t)Δt-cP(t)Δt或这样我们把问题化归到如何确定 k。

一旦 k 被确定，通过已知数据，我们解这个微分方程，就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了。

我们考虑（式 2-1）中度量增长率的比例因子 k 是兔子数的函数而不是常数。

（否则当 k 是常数时我们知道兔子数将成指数增长，这是令人难以置信、不切实际的。

）考虑到在一定区域内，兔子的生存空间是有限的，食物是有限的，且存在种间竞争与种内竞争，结合生物学理论可知兔子数量必然趋于某个饱和值，是有限的。

我们假设这个饱和值是M，则合理的猜测是随着兔子数的增长并逐渐接近饱和值M 时，比率 k 逐渐减小。

关于 k 的一个简单情形是线性的子模型k=r(M-P), r>0其中r 是常数，代入(式2-1)得到(式2-2)P(t0)=p0求解这个微分方程我们得到：这个模型最早是由丹麦生物数学家 Pierre-Francois Verhulst(1804--1849) 提出的，称为 logistic 增长模型。

在下面的模型求解部分，我们将大量使用该 函数来模拟野兔生长状态。

当然(式 2-3)的得出依赖着假设 k 是一个简单的线性子模型，我们将在模型的改进部分对此作一些讨论。

3、模型的假设对模型的假设，我们在问题的分析中已经提到，为严谨在此完整列出。

野生兔的生活空间是有限的，食物是有限的，存在着种间竞 争与种内竞争。

因此野生兔的数量将趋于一个稳定的饱和值。

假设除了 T=4、T=5 这两年外，野生兔的生长条件（包括天敌，气侯食物，空间，雌雄比例等）是近似的。

假设统计数据是可靠的。

度量野兔数量增长率的比例因子 k 是线性的子模型。

4、符号说明在问题分析部分已出现并说明了一些符号，为严谨这里完整列出。

M: 野兔种群数量的饱和值 P(t)或 P: 野兔种群数量随时间的函数 k: 增长率比例因子pi ： 时间为 T=i 时所对应的野兔数量统计值C 1,C 2 ,C ： 积分得到的常数 T ，t ： 时间变量 m ： 表示斜率C 1 C 2 C 3 M 1 M 2 M 35、模型的求解对种群饱和值的估计 ：为了求出模型的解函数（式 2-2），我们是需要估计出种群数量的饱和值 M 与另一个参数 r 。

我们有下面的分析： 由（式 2-2）可以得到：⎪ =r (M - p )PdPdt (t ≤t ≤t )P (t )=p MerM (t -t )M - p + p erM (t -t )（式 2-3）P ,P ,P ,P ,P ,P,P ,P,P ,PP ,P,P ,P,P ,PP(M-P) （式 5-1）通过初等运算（式 5-1）改写为dP/P+dP/(M-pP)=rMdt(式5-2）对上式两边积分，得到：lnP-ln(M -P)=r M t+C （C 为常数）(式5-2）由（式5-3）知那么如果我们事先估计并确定 M ，再在图形中画出若干离散的点其中 t=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，就可以利用 Matlab 的直线拟合，求出斜率 m=rM ，从而确定 r 。

M 估计为10（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线时间（年）图 5-1如图 5-1 所示，图形分为两段，第一段（第 0 年到第 3 年）和第二段（第 6 年到第 9 年）确实近似于直线。

并且得到：两条的直线斜率都为 m=1，r=0.1M 估计值为9.9（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线 函数曲线在0-3年的分支，参数为C1ln = rMt+ C -3 2 关于 t 的函数图形是一条直线，斜率为 m =r M 。

（2） M =9.9（十万），ln =rMt+C 图形：时间（年）图 5-2斜率 m =1.007 ，r=0.10172（第 0 年到第 3 年）； 斜率 m =1.0812，r=0.10921（第 6 年到第 9 年） （3） M =10.1（十万），M 估计值为10.1（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线函数曲线在0-3年的分支,参数为C1 函数曲线在6-9年的分支,参数为C2斜率 m =0.99326， r=0.0983 ；斜率 m =0.93706， r=0.09278。

接下来我们让 M 分别取这三个值时，利用式（2-2）估计出的不同年份的野兔数 量和实际统计数据之间的偏差情况。

用（式 2-2）对各年份野兔数量作出计算及比较（1） M=10（十万）时：式（2-2）在从第 0 年到第 3 年就可以变为：t函数曲线在6-9年的分支，参数为C2野兔种群饱和值为10（十万）的对比曲线0-4年logistic函数曲线（第零年为初值）图 5-4（2）M=9.9（十万）时，用类似于（1）的方法，我们得到表格：表 5-2从表格中可以看出：第十年的野兔数量为 978882 只。

同样，作出此时的对比图形：野兔的种群饱和值为9.9（十万）的曲线对比（3） M=10.1（十万），用类似于（1）的方法，得到的表格：5-2 时间 （年） 统计得到的兔子数 量（十万） 通过函数计算得到的兔子数量 （十万） 百分误差 0 1.00000 1.00000 0.00000% 1 2.31969 2.32870 0.38800% 2 4.50853 4.52522 0.37000% 3 6.90568 6.90426 -0.02100% 4 6.00512 8.54547 42.30300% 5 5.56495 9.35811 68.16200% 6 5.32807 5.32807 0.00000% 7 7.56101 7.66817 1.41700% 8 8.93920 9.01047 0.79700% 9 9.58170 9.57924 -0.02600%10 9.78882时间 （年） 统计得到的兔子数 量（十万） 通过函数计算得到的兔子数量（十万） 百分误差0 1.00000 1.00000 0.00000% 1 2.31969 2.31103 -0.37300% 2 4.50853 4.49235 -0.33900% 3 6.90568 6.90685 0.01700% 4 6.00512 8.62344 43.60100% 5 5.56495 9.49769 70.67000% 6 5.32807 5.32807 0.00000% 7 7.56101 7.47658 -1.11700% 8 8.93920 8.87936 -0.67000% 9 9.58170 9.58384 0.02200% 10 9.89129从表格中看出：此时，第十年的野兔数量为 989129 只这个时候的对比图形：图（5-5）模型求解的结论从图形（图 5-4、图 5-5、图 5-6）中可以看出，除了第 4 年和第 5 年之外，函数曲线和原始数据的连线吻合的非常好，因此，我们认为野兔的生长规律可以用函数（式2-2）来模拟。

同时得到，第四年和第五年的野兔增长出现异常现象。

根据图形（图 5-4、图 5-5、图 5-6）的对比和表格（表 5-1、表 5-2、表5-3）中数据的对比，以及最后表格 5-4 的结果，可以得出：取野兔种群的饱和值M 为 10（十万）时，经计算得到的数据与统计数据之间的百分误差最小，因此，我们根据M 为 10（十万）这一情形对第十年野兔的数量作出预测，得到预测值为 984194 只。