9
例4
1 A 2
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
1
解
A rr32 2rr11
0
0
0 1 1
2 1 1
24 2
1 0 0
0 1 0
2 1 0
R(A) = 2
4 2 ， 0
10
4 2 1
例5
求矩阵
A
1 1 2
2 8 14
2 173
的秩。
解
1
A
r1
5
A没有4阶子式，所以 R(A) = 3.
例如
1 1 0
C 0 1 0
RC 3
0 0 1
1 2 5
D
0
3
4
0 0 0
2 1 2 3 5
E
0 0
8 0
1 0
5 7
3
2
0
0
0
0
0
RD 2
RE 3
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
6
例3
设
a A 1
5 4 1
311,
求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。
解 先求A 的秩，对A 作初等行变换化为行阶梯形：
1
A
0 1 2
1 2 1 0
2 1 0 3
2 5 4 1
1 1 31
1
r3 r1
r4 2r1
r4 r2
0 0 0
1 2 0 0
2 1 2 0
2 5 2 0
1
1
2 0
2r2
1 0 0
0 1 0
0 1 1
1 0 0 r2 r3 0 1 0 E
RA 3 A为满秩方阵。
0 0 1
此过程相当于
E(2 3) E[3 2(2)] E[2(1)]E[3(1)] E(2 3)E(1 3)
E[3 1(3)]E[2 1(2)] A E
16
关于秩的一些结论（熟记）：
处元素按原相对位置组成的 k (1 k minm, n)
阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
例如
1 2 3 1 设 A 4 6 5 4 ，
1 0 1 1
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素
所构成的二阶子式为
2 D2 0
1 1
2
1 2 3 1
例如 设 A 4 6
5
4
，共有C
2 3
r2
4 1 2
2 2 8 14
2 1 173
r2 4r1 1
r3 r4
r1
2r1
0 0 0
2 10 10 10
2
9
9 9r3 ຫໍສະໝຸດ 4r2r2 1 0 0 0
2 10
0 0
2
9 0 0
B,
所以R（A）= 2 。
例6
设A
1 3
1
1 1
2 2
,
且R（A）
2，求,
1 a
1 1
如果
RA 3
, 求a.
1 1 a
分析：R（A)<3,A所有的3阶子式为零，
即A的行列式为零。
a11
解 RA 3 A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 0
11a a 1 或 a 2
7
例3
K 1 1 1
A
1 1 1
K 1 1
1 K 1
1
1 K
分析：R（A)=3<4,A所有的4 阶子式为零，即A的行列式为 零。
5 3 6
1 A 3
1
1 1
2 2
1 0
1
3
1 4
2 4
5 3 6 0 8 5 4
1 1 1 2 R( A) 2,
0 3 4 4 0 5 1 0
5 0, 1 0
5, 1
12
1 1 2 2 1
Ex1.
设A
0 1 2
2 1 0
1 0 3
记作R(A)或秩(A)。
二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1
B
1 0
2 1
为阶梯形矩阵，求R(B)。
解
1
由于
0
2 1
0
，二阶子式不为0，所以
R(B)
=
2.
例2
1 A 0
2 1
3 0
0 1
求R(A)。
0 0 1 0
解： 1 2 3 0 1 0 1 0 存在一个三阶子式不为0，
001
RA 3 则 K 3
11 1 1
A K 3 1 K 1 1 (K 1)3(K 3) 0
11 K 1
K 1或K 3
11 1 K
1 1 1 1 K 1时，A 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
A有非零的1阶子式，但A所有的
2阶子式都为0，所以R（A）=1
舍去K=1。得K=-3。
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：RA n A 0
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,
又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的
定理.
定理2 设A是满秩方阵，则存在一系列初等方阵
P1,
P2
,,
Ps . Ps
使得
Ps1 ,
C
2 4
18
1 0 1 1
个二阶子式，有
C
3 4
C
3 3
4
个三阶子式。
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
3
2. 矩阵的秩
定义2 设 A aij mn ，有r 阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
P2 P1 A
E
15
例7 1 A 2 3
2 1 1
3 2 2
r2 r3
2r1 3r1
1 0 0
2 3 2
3
1
4 r1 r3 0
3
0
0 3 2
0 4 3
1 r2 r3 0
0
0 1 2
0 1 3
1
( (
1)r2 1)r3
0 0
0 1 2
0 1 3
r3
8
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理1 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 A B 则 R( A) R(B)
注： 1. ri rj 只改变子行列式的符号。 2. k ri 是 A 中对应子式的 k 倍。
3. ri krj 是行列式运算的性质。
第二种求矩阵A的秩方法： 1） A 阶梯型矩阵B
2）R（B）等于非零行行数，R( A) R(B)
故R（A）= 3 。
再求A 的一个最高阶非零子式。 因R（A）= 3 ，知A 的最高阶非零子式为 3 阶，
易计算A 的前三行构成的子式
112 0 2 1 4 0, 110
因此这个子式便是A 的一个最高阶子式。
返回
三、满秩矩阵
定义3 A 为 n 阶方阵时，
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
第五节
第二章
矩阵的秩及其求法
第四节我们发现，矩阵经过有限次初等行变换化 成的阶梯型矩阵不唯一，但是与其等价的阶梯型矩 阵非零行行数一样，台阶的形状相同。这反映了矩 阵什么性质呢？
一、矩阵秩的概念
二、矩阵秩的求法
三、满秩矩阵
1
一、矩阵的秩的概念
1. k 阶子式
定义1 设 A aij mn 在A中任取k 行k 列交叉