科学家们通过大量的实验和一些理论上的分析发现在规则 网络中疾病的传播阈值是一个不算很小的值。这个结论是 令人欣慰的，因为它使得人们有理由相信随着健康意识、 保障体制和医疗手段的进步，我们总可以让疾病的传染强 度降到阈值以下，从而有效地遏制疾病的传播，例如我们 可以通过戴口罩和采用消毒措施降低染病概率，通过更先 进的治疗方法增加痊愈概率。 对于物理学家而言，研究复杂网络的终极目标是理解网络 拓扑结构对物理过程的影响。物理学家不仅在方法论上为 网络研究注入了新的活力，而且大大拓展了网络研究的视 野，他们不仅和数学家一样关心网络自身的拓扑性质，而 且关注网络上进行的各种物理过程和动力学行为，诸如传 播、同步、自组织临界等，他们发现了拓扑结构对各种动 力学行为的影响。
显然，这个方程的解
是随着时间t的增大而发散的。
在一个有着少量长程连接的小世界模型网络中研 究了传播和最短路径。类似的传播比如森林火灾 和传染病。用很简单的规则：每一步，从已经被 感染的节点向所有邻接的未被感染的节点传播。 关注于通过随机长程连接的直接反应，在系统中 并没有考虑到时滞因素。 Newman提出的模型是，随机的添加长程连接，而 不破坏原来的连接，观察小的概率值P对于小世界 网络特性的影响。并将每个特性的分析结果与仿 真结果进行比较。
对先前模型的改进
Yang认为NW小世界网络的感染量V(t)中，由于现实中存在 的等待时间，新引发的病毒感染或者火灾发生相比而言都 有一个时滞（远程连接而言），因此，相应的线性时滞传 播方程为：
2V (t ) 1 V (t ) d t
解为：
(t k )dk V (t ) (dk )! k 1
科学家们设计了形形色色的网络传播模型，其中 最为著名的是SIS 模型和SIR 模型。在SIS 模型中，每 一个节点只能处于两种离散状态中的一种，一是健康 易感的，二是已被感染从而具有传染性的。而在SIR 模型中，节点还可以处于一种叫做免疫的状态，在这 种状态下，节点既不会被感染，也不会感染其它节点， 相当于已经从传播网络中被清除了。
4.4 复杂网络的传播动力学
在这里，我们把网络不依赖于节点的具体位臵和 边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓 扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。那么， 什么样的拓扑结构比较适合用来描述真实的系统 呢？ 到了二十世纪五十年代末，数学家们想出了一种 新的构造网络的方法，在这种方法下，两个节点 之间连边与否不再是确定的事情，而是根据一个 概率决定。数学家把这样生成的网络叫做随机网 络，它在接下来的四十年里一直被很多科学家认 为是描述真实系统最适宜的网络。
混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间—— 即原因与结果之间——关系的一个基本性的错误认识。我 们过去认 为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在 我们知道了，它们 可以产生易被误解为随机性的极不规则 的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果 (这意味着复杂的结果必然有复杂的原因)，但现在我们知 道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知 道这些规律不等于能够预言未来的行为。
当传染强度非常小的时候，经过了一段有限长的时间后， 所有节点都会变成健康节点，这种情况下我们就认为疾病 没有在网络上传播开来，并记该疾病的波及范围为零。反 之，当传染强度足够大的时候，疾病将一直在网络中存在 而不会完全消失，只是染病节点的数目有时多有时少，这 种情况下我们让系统运行相当长的一段时间，并把这种情 况下染病节点数占节点总数的比例在这段时间内的平均值 称为该疾病的波及范围。 对于每一个传染强度，总可以通过大量相互独立但初始条 件相同的实验求得其对应的波及范围的平均值。当波及范 围为零时，疾病的危害是较小的，反之则非常可怕。把平 均波及范围从零向正实数变化的那个点所对应的传染强度 称作传播阈值，它是衡量网络上的传播行为最重要的参量 之一。
对上式做标度变换和微分后，可以得到如下形式 的线性传播方程：
t / 2V (t ) (t k )dk d ln(V (r )) 1 V (t )V (t ) D d t (dk )! d ln r k 1
Vn 1 2Vn Vn 2
4.4.2 小世界网络传播动力方程的分形、混沌和分 岔
分形、混沌和分岔的简单介绍： 分形：分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学 科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首 先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题 为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线, 其特征是极不规则、极不光滑的,呈现出极其蜿蜒复杂的变 化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸 有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性, 说明海岸线在形貌上是自相ຫໍສະໝຸດ 的,也就是局部形态和整体形 态的相似。
4.4.3 小世界网络的广义传播动力方程及其分岔
前面的NW小世界网络传播方程都是经过一系列标度和时间变 换得到的，这些变换都与NW小世界网络模型的概率参数p有 关，因此，当p变化时所带来的网络结构演化，在传播方程中 被标度变换式掩盖而无法显现出来。此外，p=0时的最近邻网 络是NW小世界网络的一个特例，然而上述方程却不能包含这 一特定的网络结构，因为p=0时，方程没有意义。 本文提出一个非线性病毒传播模型，来描述增加新连接概率P 在NW小世界网络模型中的拓扑转化中的影响。在所有类型的 病毒传播中都纯在Hopf分岔。P不仅决定了NW小世界网络模 型的拓扑转变，在网络的稳定性方面也主导作用。
NW小世界模型： Newman等人 最早对小世界网络上的传播 行为进行了系统的研究，称为NW网络。在该网络中，与WS 网络类似，节点先排布在一个最近邻环网上，但NW并不破 坏原来的连接，只是以一个很小的概率在原来的最近邻环网 上添加新的连接。 NW小世界模型构造算法： 从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它 们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点 相连，K是偶数。 随机化加边：以概率p在随机选取的一对节点之间加上一条 边。其中，任意两个不同的节点之间之多只能有一条边，并 且每一个节点都不能有边与自身相连。
Yang X S.Chaos in small-world networks with time-delay.Chaos,Solitons and Fractals,2002,13:215-219.
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100 公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看 上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于 自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、 布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布 罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 (fractal)。 分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴 的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的: 一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来 认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与 部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三 是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
4.4.1 d维NW小世界网络的线性传播方程
Moukarzel C F.Spreading and shortest paths in systems with sparse longrange connections.Phs.Rev.E,1999,60(6):R6263
平均的总感染量V(t)由下面形式的积分方程得到：
4.4.0 经典的传播模型及其结论
和某个具体领域的工程学家不同，数理学家在研究传播行 为时，往往并不区别他所研究的对象到底是计算机病毒在 互联网上的传播还是疾病在人群中的传播。数理学家就得 到了传播网络的拓扑结构，如果再制定好疾病传播扩散的 规则，给出初始条件，这个模型就基本建好了。 如上所述，一个完整的网络传播模型至少应该包括两个方 面，一是传播规则的制定，二是网络拓扑结构的选择。但 是，在以前的研究中，科学家把几乎全部的精力放在对传 播规则的讨论上，却没有给予网络拓扑结构应有的关注。
在SIS 模型下，初始时随机选择网络中一个或若干节点为 染病节点，其余为健康节点。在每一个时间步，如果一个 健康节点与一个或多个染病节点相邻，则它依某个事先设 定的概率变成染病节点，这一概率叫做染病概率，同时每 一个染病节点都依某个事先设定的痊愈概率变成健康节点。 在每个时间步，这些演化规则在整个网络中被并行地执行。 显然，染病概率越大，痊愈概率越小，疾病就越有可能感 染更多的人，这里，定义染病概率和痊愈概率的比值为传 染强度，并用这个参数综合地衡量疾病自身的特征。假设 刚开始的时候，网络中只有一个节点染病，我们可以先直 观地想象一下疾病传播可能的结果。
混沌：根据当代数学理论的定义，混沌系统就是对“初始 条件极度敏感”的系统。换句话说，为了精确预测系统的 未来状态，需要知道它无限精确的初始状态，即便很小的 误差，都将立刻导致预测错误。 美国气象学家洛伦茨在2O世纪6O年代初研究天气预报中 大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初 始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现 表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。其对 初始条件的极端敏感依赖性表现为蝴蝶效应：今天北京一 只蝴蝶展翅翩翩对空气造成扰动，可能导致下个月纽约的 大风暴。
周涛，傅忠谦等。复杂网络传播动力学研究综述。自然科学进展，第15卷 第5 期，2005年5月。
直到最近几年，由于计算机数据处理和运算能力 的飞速发展，科学家们发现大量的真实网络既不 是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两 者皆不同的统计特征的网络。这样的一些网络被 科学家们叫做复杂网络（complex networks）。
d ln(V ( r )) 按式：D d ln r
计算上式的分形维数D
后发现 决定着NW小世界网络的分形维数。