第 二 章
2-3试证明图2-5(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系。

对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。

证明：(a)根据复阻抗概念可得：
22212121122122112121122121221
11()1()1
11
o
i
R u C s R R C C s R C R C R C s R u R R C C s R C R C R C C s
R C s R C s
+
++++==
+++++
+
+
即
220012121122121212112222()()i i o i
d u du d u du
R R C C R C R C R C u R R C C R C R C u dt dt dt dt
++++=+++取A 、B 两点进行受力分析，可得：
o 112(
)()()i o i o dx dx dx dx f K x x f dt dt dt dt -+-=- o 22()dx dx
f K x dt dt -= 整理可得：
2212111221121212211222()()o o i i o i
d x dx d x dx f f f K f K f K K K x f f f K f K K K x dt dt dt dt ++++=+++
经比较可以看出，电网络（a ）和机械系统（b ）两者参数的相似关系为
1
112
22
1
2
11,,,K f R K f R C C
2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。

(1) ;)()(2t t x t x =+
(２)）。

t t x t x t x ()()(2)(δ=++
2-7 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示，试求闭环传递函数U ｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。

图2-6 控制系统模拟电路
解：由图可得
11111()1i o
o o
R U U C s U R R R C s
=
-
-+
2
20o U R U R =
21021
U U R C s =
联立上式消去中间变量U1和U2,可得：
12
3
23
112212()()o i o o U s R R U s R R C C s R C s R R -=-++
2-8 某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。

已知电位器最大工作角度o
330m ax =θ，功
率放大级放大系数为K 3,要求：
(1) 分别求出电位器传递系数K 0、第一级和第二级放大器的比例系数K 1和K 2；
(2) 画出系统结构图； (3) 简化结构图，求系统传递函数
)(/)(0s s i θθ。

图2-7 位置随动系统原理图
分析：利用机械原理和放大器原理求解放大系数，然后求解电动机的传递函数，从而画出系统结构图，求出系统的传递函数。

解：（1）
000
30180
/11330180m
E
K V rad π
θπ
=
=
=
⨯
3
1330103
1010K -⨯==-⨯
3
2320102
1010K -⨯==-⨯
（2）假设电动机时间常数为Tm ，忽略电枢电感的影响，可得直流电动机的传递函数为
()()1m a m K s U s T Ω=
+
式中Km 为电动机的传递系数，单位为1
()/rad s V -。

又设测速发电机的斜率为
1
(/)t K V rad s -⋅，则其传递函数为 ()
()t t
U s K s =Ω
由此可画出系统的结构图如下：
（3）简化后可得系统的传递函数为
22301230123()
1
1()
1
o m m t
i m m
s T K K K K s s s K K K K K K K K K K θθ=+++
2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出 响应t
t e e t c --+-=21)(，
试求系统的传递函数和脉冲响应。

分析：利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，进而求解出系统的传递函数，然后对传递函数进行反变换求出系统的脉冲响应函数。

解：（1）
1
()R s s =
，则系统的传递函数
211142()21(1)(2)s s C s s s s s s s ++=-+=
++++
2()42()()(1)(2)C s s s G s R s s s ++==
++
o K 1K 2K 3K 1m
m K T s +
1s t
K
()i s Θ 1U 2U a U ()
s Ω
- - ()t
U
s
（2）系统的脉冲响应
()
k t=
2
1112
4212
L[G(s)]L[]L[1]()2
(
1)(2)12
t t
s s
t e e
s s s s
δ
-----
++
==-+=-+
++++
2-10 试简化图2-9中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。

图2-9 题2-10系统结构图
分析：分别假定R(s)=0和N(s)=0，画出各自的结构图，然后对系统结构图进行等效变换，将其化成最简单的形式，从而求解系统的传递函数。

解：（a）令N（s）＝0，简化结构图如图所示：
可求出：
12
112
()
()1(1)
G G
C s
R s H G G
=
++
令R（s）＝0，简化结构图如图所示：
所以：
3212112121(1)()()1G G G G H C s N s G G G G H -+=++ （b ）令N （s ）＝0，简化结构图如下图所示：
3G 21211G G G H
+ 1
G ()N s ()C s
2
1211G G G H
+ 3
G
2
1211G G G H +
1
G
()N s
()C s
3
G
2
1211G G G H +
1
G
()N s
()C s
3
G
2
G 1
H 1G
1
G
()N s
()s
1
G
2
G
2
G
3
G
4
G
R
C
所以：12434
2434()
1R s G G G G =
++ 令R （s ）＝0，简化结构图如下图所示：
42434()1N s G G G G =
++
2-12 试用梅逊增益公式求图2-8中各系统信号流图的传递函 数C(s)/R(s)。

4
G
N
C 23
G G +
12
G G 23
G G +
4G
R
C 23
G G +
12
G G
23
G G +
4G
R
C
图2-11 题2-12系统信号流图
解：
（a ） 存在三个回路：312323431G H G G H G G H ∆=+++ 存在两条前向通路：
1123451262,1
,P G G G G G P G =∆==∆=∆
所以：12345631343232()
()
1G G G G G C s G R s G H G G H G G H =+
+++ （b ）9个单独回路：
12124236343454512345656734565718658718659841
,,,,,,,L G H L G H L G H L G G G H L G G G G G G H L G G G G G H L G G G H L G H G G H L G H H =-=-=-=-=-=-=-==
6对两两互不接触回路： 121323728292L L L L L L L L L L L L
三个互不接触回路1组：123L L L
4条前向通路及其余子式：
112345612734563718642418642P =G G G G G G ,=1 ; P =G G G G G , 2=1 ;P =-G H G G ,3=1+G H ; P =G G G , 4=1+G H ∆∆∆∆
所以，4
19
6123
1
1
()
()
1k
k
k a b c a P C s R s L L L L L L ==∆
=-+-∑∑∑。