1 2
s
E
导体表面
② 将上式应用于电位保持不变导体系： 导体系在改变过程中，电位保持不变，则导体 系电荷量将发生变化。外界（电源）对导体系 作功，其中一部分转变为静电场能，另外一部 分为导体系空间结构变化静电力所作的功。
F l＝
iqi
1 2
iqi
电源对系统 静电场能
所做的总功 量改变量
| F W e 常量
第二个小电荷元自从无 穷远处移到r2点时，外 力克服电场力作功为：
r2
dW 2r2dV2E 1dLr2dV212
第三个小电荷元自从无穷远处移到r3点 时，外力克服电场力作功为：
d W 3r 3 d V 31 3 r 3 d V 32 3
第n个小电荷元自从无穷远处移到rn点时，外力 克服电场力作功为：
rq 4πcL 0o r2s4P πe0rr3
5 静电场的能量和能量密度
静电场对置于其中的电荷有力的作用，并对 电荷作功。这说明静电场具有能量。
根据能量守恒原理，静电场的能量等于电荷 体建立过程中，外力克服静电力做功的总和
第一个小电荷元自从无穷远处移 到r1，外界克服电场力做功为零
r1V1
r2V2
静电力作用下发生小的移 δl ,变
化后体系的静电能为We’， 静电 力作的虚功为：
δAFδl 该虚功等于电荷体系能量的减少
We WeWe
δl W e W e
F e ˆx W xee ˆy W yee ˆz W ze W e
① 将上式应用于电荷保持不变导体系： 结合导体系能量表达式，静电力为
将静电场能量公式应用到导体系，由于导体 的电位为常数，从而得到导体系的能量为
W e 1 2 V rrd V 1 2 siisd s 1 2 iq i
导体系相对于同一参考点的电位 导体系的电荷量
6 带电体系的静电作用力
虚功原理如下：设一定空间结构
的带电体系，静电能为 W e 。假
想该电荷体系的空间位形结构在
21
r
r
1
1 n S
2
2 n
S
－ s
或
1
r
|S
2
r
| S
M
【例3-1】电偶极子由相距一
r1
小距离L的两个等值异号的
q
r2
点电荷所组成的电荷体系，
其方向由负电荷指向正电 荷，大小为：PqL 。求 电偶极子在远处的电场。
-q
r q
4π0
r11
1
r2
Er r 4π10r3eˆr2PecoseˆPesin
dWn rndVn1n rndVn2n
rndVn3n rn dVn n1,n
We r2dV212 r3dV313 r3dV323
n i1
lim n i1
j1
ri
dViji
另一方面：
dW2 r2dV212 12r2dV212 r1dV121
dW3 12r3dV313 r3dV323 r1dV131 r2dV232
dWn
1 2
rndVn1n rndVn2n rndVnn1,n
r1dV1n1 r2dV2n2 rn1 dVn1n,n1
n i1
WedW2dW3dW4dWnlni m i1
ri
j1
dViji
lim1n
2 n i1
n
ri dVi
j1ji
ji
lim1 n 2 n i1
ri idVi
r ε
S
n
引入电位函数r，令 E r r 得到 r 满足的方程
2rr （Poisson方程）
如果 r0 ，变为Lap lace方程 2r0
问题：静电场与电位函数是不是一一对应 关系，这是否意味着由电位函数决 定的静电场是多值的？
2 边界条件
电位函数方程的求解，必需知道位函数 在区域边界上的状态，即边界条件。所 谓边界条件即电场在介质交界面两侧所 满足的方程。
能否作为能
n
W elni m i 1
ri dV i i
V
1rrdV
2
量密度函数
利 D 用 和 E r r
We
1 2
V
rrdV
1 2
V
DrrdV
1 2
V
Dr
Er
dV
r
S
Dr
dS
两者都可 作为静电 场能量计 算公式但 意义不同
V
1 2
Dr
Er
dV
能量密度函数
静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过 电场计算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。
第四讲（一）
第三章 静态电磁场
主要内容：
静态电场的基本问题 带电导体系的作用力 静态电场的能量 静态磁场基本问题 静态磁场的能量
§3.1 静电场及其方程
1 电位函数及其方程
对于静电场，Maxwell方程为
Er0
D rr
这说明静电场是有散无旋矢 量场，可以表示为某个标量 场的梯度。
V
Er
| F We q常量
＝ 1
2
i sids E i
si
si
1 2
si Eds
si
f ds
单位导体表面积受到的静电力是：
| f
1 2
s
E
导体表面
|E 导体表面
为系统总电荷在导体表面处产生的电场
（含受力面元本身的电荷在内）
问题：根据库仑定律
f
| f sE 导体表面
按照虚功原理得到：
| f
另一方面：
Q 1 21
Q 212
dW2 r2dV212 12r2dV212 r1dV121
dW3 12r3dV313 r3dV323 r1dV131 r2dV232
1
dWn 2
rndVn1n rndVn2n rn dVn n1,n
r1dV1n1 r2dV2n2 rn1 dVn1n,n1
导体内部存在大量 可自由移动的电子 宏观上呈现电中性
附加场
+ +
+ + +
E
达到静电平衡状态 导体内部电场为零
电场中的导体： 导体内部电场为零，导体为等势体； 导体边界面上电场的切向分量为零； 电荷只分布在导体的表面
（ 0n常数 ） s
sds
S
Q导体所带电荷 0 导体不带 电
4 静电场的定解问题 均匀介质空间Ω中的静 电场为确定边界条件下 Poisson方程的解，即
【例】 平行板电容器宽长度为l，宽度为b， 间距为d 。电容器两板极之间的部分区域充 满了电介质。如果将平行板电容器接入电压 为V0 的直流电源，求电容器的储能；求介质 板在拉出时受到的作用力。
E1 r
n
E2 r

DdsdV
s
V
(D2 D1 ) nˆ s
2 2 1 1 nˆ s
2
2
n
1
1
n
s
D2
2
D1
1
E dL 0
L
nˆ E 2 E 1 0
P2P 1P l1 iP m 2 P P 1 2Erdl 0
2r1rs0
3 导体的边界条件
没有外加电场