平衡不完全区组设计， Balanced incomplete block design， BIB设计
(3)b v, r k.
处理数超过区组数的 BIB设计是不存在的。
附表9（P401）对 4 v 10, r 10 给出了一些BIB设计表。 附表使用方法见书本P90 例3.2.1,例3.2.2
j 1 b
,v
它们之间的差异受到区组间差异的影响，故按 传统的公式计算处理平方和已经不再适合，下 面用最小二乘法来获得SA ，为此先计算误差平 方和Se。
误差平方和Se可从最小二乘的剩余平方和获得：
Se min nij ( yij i j ) 2
i 1 j 1 v b
方差分析
一、区组是试验设计的基本原则之一。
几点注释
错误结 论是因 为没有 重视区 组设计 而造成 的！
二、把区组看成另一个因子，有争议。
三、随机效应问题
• 在实际中，处理效应和区组效应可能是随机的： 1）仅仅处理效应是随机的； 2）仅仅区组效应是随机的； 3）处理效应和区组效应都是随机的 这一类问题的处理将放在下一章“两因子试 验的统计模型”详细叙述。
统计模型及其参数估计
平衡不完全区组设计只适用于处理和区组 间无交互作用的试验问题。其统计模型是：
平衡不完全区组设计和随机化完全区 组设计模型相同，差别仅在于BIB设计中 不是每个区组都包含所有处理。
考虑到BIB设计是“不完全的”，不是 对所有(i,j)做试验，关联矩阵N会起到区分 作用。 下面先求处理效应i的最小二乘估计。
假如每个区组都包含着每个处理（区组大小正好等于处 理个数a）,成为随机化完全区组设计。
若区组大小小于处理个数a，这样的设计被称为随机化 不完全区组设计。
统计模型
自由度
fT f a f b f e N 1 ab 1 (a 1) (b 1) (a 1)(b 1)
ˆ )2 ˆ ˆi nij ( yij j
i 1 j 1 v b
v
b
1 v nij ( yij ˆi nijˆi ) 2 k k i 1 i 1 j 1
b v 1 k 2 nij yij y2j Qi2 k j 1 v i 1 i 1 j 1 v b
试验方式一：随机化设计
缺点分析：金属试件的硬度稍有不同，试验数据的 变异性就会受到很大影响。这时试验误差不仅仅是 随机误差，还有金属试件间的差异性。
试验方式二：随机化区组设计
随机化区组设计的定义：设有a个处理需要比较，若把 全部的n个试验单元分成k组（k=n/a），使每个组内的试 验单元尽可能相似，在每个组内对各试验单元以随机方 式实施不同处理。
2 i 1 j 1 i 1 j 1 v b v b
, j 分别为H 0成立下 和 j的LSE。
y j y ,j , j 1, 2, n k v b b 1 2 S0 nij yij y2j k j 1 i 1 j 1 f 0 =n - (1+b - 1) = n - b ,b
fT n 1, n bk vr
进行分解：
SB
j 1
b
y
y , y j k n
2 j
2
n
i 1
v
ij
yij ,
k
fB b 1
考虑因子A的v个处理间的平方和SA ，由于 每个处理所在的区组是有差异的，各处理和：
yi nij yij , i 1, 2,
区组设计
§1 随机化完全区组设计 §2 平衡不完全区组设计 §3 链式区组设计
§1 随机化完全区组设计
在比较因素A的a个水平的效应时，希望其它实验条件尽 可能保持不变，使得统计推断更为可信。 问题：“其它实验条件尽可能保持不变” 不太可能实现
解决办法：按某个已知的噪声因子将全部试验单元分组 ，使得每个组内的各个试验条件尽可能保持不变，这样 的组被称为区组。如何建立区组被称为区组设计。区组 设计中因子的水平称为处理，a个水平就是a个处理。
目标函数为
nij ( yij i j )2
i 1 j 1
v
b
对其求偏导数，令导数为零，得到正规 方程组
1 b Qi yi nij y j , i 1, 2, k j 1
,v
方差分析
2 v b y 2 ST nij yij , y nij yij , n i 1 j 1 i 1 j 1 v b
五、模型的适合性
方差齐性检测：缺少重近似达到齐 性”的情况： 1、数据是在相同或类似的实验条件下产生 的； 2、试验环境得到有效控制，大的误差得到 控制，试验进行的很正常。
正态性检测：仍可借助残差分析。
利用残差的正态概率图进行分析。
上机练习
y j
在,i,i=1,2,…,v,j,j=1,2, …,b这v+b+1个参数 中，共有v+b-1个自由参数，将这v+b-1个参数的 估计代入平方和中，得到Se的自由度为 n-(v+b-1)=n-v-b+1
原假设成立下的误差平方和为
S0 min nij ( yij j ) nij ( yij j ) 2
四、多重比较问题
• 在随机化完全区组设计中，若处理效应是固定 的，并且方差分析确认处理效应间有显著差异， 则不论区组效应是否是固定的，都应对处理效 应进行多重比较：以便发现哪些处理是值得重 视的。 • 所使用的方法与第二章相同，只需将重复数改 为区组数。在完全区组设计中，各处理所涉及 的区组数是相同的。
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§2 平衡不完全区组设计（BIB设计）
每一块金属试件上只能进行三支杆尖的测 试，参加试验的杆尖有四支，所以不是每支 杆尖都能在同一块试件上进行试验。 对这类问题，仍旧可以使用随机化区组设 计，只不过这时不是每个处理都在每个区组 中出现，这种设计叫随机化不完全区组设计。