二阶系统的性能指标
控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。

系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。

常见的性能指标有：上升时间t r 、峰值时间t p 、调整时间t s 、最大超调量M p 、振荡次数N 。

1.评价系统快速性的性能指标
上升时间t r
响应曲线从零时刻出发首次到达
稳态值所需时间。

对无超调系统，
上升时间一般定义为响应曲线从
稳态值的10%上升到90%所需
的时间。

峰值时间t p
响应曲线从零上升到第一个峰值
所需时间。

调整时间t s
响应曲线到达并保持在允许误差
范围（稳态值的±2%或±5%）内所
需的时间。

2.评价系统平稳性的性能指标
✓ 最大超调量M p
响应曲线的最大峰值与稳态值之差。

通常用百分数表示：
%100)()
()(⨯∞∞-≡o o p o p x x t x M 若x o (t p ) < x o (∞)，则响应无超调。

✓ 振荡次数N
在调整时间t s 内系统响应曲线的振荡次数。

实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。

3.欠阻尼二阶系统的时域性能指标
✓ 上升时间t r
欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：0),sin(11)(2≥+--=-t t e t x d t
o n ϕωξξω 根据上升时间的定义有：()1sin 11)(2=+--=-ϕωξξωr d t r o t e t x r
n
2221arccos 11ξωξ
πξωξξπωϕπ--=---=-=n n d r arctg t 显然， ξ一定时，ωn 越大，t r 越小；
ωn 一定时，ξ 越大，t r 越大。

✓ 峰值时间t p 令0)(=dt t dx o ，并将t = t p 代入可得：21ξ
ωπωπ-==n d p t
可见，峰值时间等于阻尼振荡周期T d ＝2π/ωd 的一半。

且ξ一定，ωn 越大，t p 越小；ωn 一定，ξ 越大，t p 越大。

✓ 最大超调量 M p
%100%100)()
()(21⨯=⨯∞∞-=--ξξπe x x t x M o o p o p
显然，M p 仅与阻尼比ξ有关。

最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。

ξ 越大， M p 越小，系统的平稳性越好，当ξ = 0.4~0.8时，可以求得相应的 M p = 25.4%~1.5%。

✓ 调整时间t s
对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量 1 的指数曲线：211ξξω-±
-t n e n s t ξωξ2
1ln ln --∆-=
当0<ξ<0.7时，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈--∆-=05.0,302.0,41ln ln 2n
n n s t ξωξωξωξ 当ξ一定时，ωn 越大，t s 越小，系统响应越快。

✓ 振荡次数N
对欠阻尼二阶系统，振荡周期2122ξωπωπ-==n d d T ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆-=∆-==02
.0,1205.0,15.12
2
ξπξξπξd s T t N ， N 仅与ξ 有关。

与M p 一样直接说明了系统的阻尼特性。

ξ越大，N 越小，系统平稳性越好。

✓ 结论
▪ 二阶系统的动态性能由ωn 和ξ决定。

▪ 增加ξ可以降低振荡，减小超调量M p 和振荡次数N ，但系统快速性降低，t r 、t p 增加； ▪ ξ一定，ωn 越大，系统响应快速性越好， t r 、 t p 、t s 越小。

▪ 通常根据允许的最大超调量来确定ξ。

ξ一般 选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn 以获得合 适的瞬态响应时间。