初中数学教师综合素质竞赛考试卷（90分钟）
一、学习义务教育阶段《数学课程标准（修订版）》的若干核心概念的检测题． （参赛教师从中选择您最熟悉的六个问题作答，每题5分，计30分；以0.3的权重计入总成绩。
）
1、数学是研究 数量关系和空间形式 的科学。
2、教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的 主体 ，教师是学生学习的 组织者、引导者 与 合作者 。
3、学生学习应当是一个 生动活泼的、主动的和富有个性的 过程。
除接受式学习外， 动手实践、自主探索 与 合作交流 同样是学习数学的重要方式。
学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
4、教师的教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向 全体学生 ，注重 启发式 和 因材施教 。
5、学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。
应建立 目标多元、方法多样 的评价体系。
6、九年义务教育各学段中，《数学》安排了四个部分的课程内容： “数与代数”， “图形与几何”， “统计与概率”， “综合与实践” 。
7、在数学教学中，应当注重发展学生的数学能力，它包含 数感、符号意识、空间观念、 几何直观、 数据分析观念、 运算能力、 推理能力 和 模型思想 等八个方面的成分。
8、为了适应时代发展对人才培养的需要，义务教育阶段的数学教育要特别注重发展学生的 实践 意识和 创新 意识。
9、通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的 基础知识、 基本技能、 基本思想、 基本活动经验 （简称四基）。
10、数学的课程设计和教学活动组织中，应同时兼顾到 知识技能、 数学思考、 问题解决、 情感态度 四个方面的目标。
这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。
11、初中数学常用的、重要的数学思想有 数形结合思想 、 函数方程思想 、 分类讨论思想 、 类比转化思想 等。
12、以下是“用数学模型解决实际问题”的程序框图，请您在三条横向或纵向的实线上，添上正确的方向箭头表示流程，并在括号内填写这一步流程的核心要求。
解：第一箭头水平向右、（理解、转化、建立模型）；第一箭头竖直向下、（数学求解）；
（ 理解、转化、建立模型 ）
（ 检验、验证 ）
图1
第三第一箭头水平向左、（检验、验证）等等；还可以提及：数学模型通常有：方程、不等式（组）、函数、解直角三角形、统计等；检验：检验验证与实际是否相符合．
二、解答数学试题．【两道选择题（单选题），两道填空题，它们的解答只需选择正确答案的序号或填写正确的结论即可；解答题的解答，则必须写出解答的过程。
第1~4题，每题5分；第5、6题，每题10分；本次数学解答题共计40分；以0.3的权重计入总成绩。
】
1、如图1，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）,将余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，你认为可以得到一个关于a 、b 的恒等式是（ ）．
A ．()2
22
2a b a ab b -=-+
B ．()222
2a b a ab b +=++
C ．22
()()a b a b a b -=+- D ．2
()a ab a a b +=+
解：左边阴影部分面积是22
a b -；而右边的是等腰梯形，其高是(-)a b =，上、下两底分别是22a b 、；显然可推得公式：2
2
()()a b a b a b -=+-；选择C ．
2、如图，将ABC △绕点(01)C -，旋转180°得到A B C '''△，设点A '的坐标为()a b ，,则点A 的坐标为（ ）．
A ．(2)a b ---，
B ．(1)a b ---，
C ．( )a b --，
D ．(1)a b --+，
A A '、是一对对应点，点(01)C -，恰是它的中点，设()A x y ，，依依据中点公式可得：202(1);a x b y +=⨯+=⨯-，解得2y b =--,0x =； 故选择结论A ．解法二：我们初中生知道，关于原点对称的坐标特征，这里用转化的思想：将
图形向上平移使得对称性中心(01)C -，
，回到原点(00)O ，，则此时点0A '的坐标为(+1)a b ，，而所对应的对称点1A 的坐标为(1)
a b ---，
，再平移回归至初始状态，可得点A 的坐标为(2)a b ---， ，故选择结论A ．
图4
O
O
图4解答
3、如图3，在⊙O 内有一折线OABC ，其中OA ＝12，AB ＝16，∠A ＝∠B ＝60°，则弦BC 的长= ．
4、如图4，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径长为= ．
3、解答：在⊙O 内有一折线OABC ，其中∠A ＝∠B ＝60°，自然想到构造一个等边三角形，过点O 作BC 弦的平行线或延长AO 交BC 弦于点D 也可，如图；由于16AB BD DA ===，∴=1612=4OD -；因此在R OHD ∆t 中，60ODH ∠=︒，
∴2DH =，从而BH BD DH =- 16214=-=，∵OD BC ⊥半径弦，∴221428AB BC BH ===⨯=．此处可见命题者
的用心良苦与独具匠心！
4、解答：观察⊙O 内接正方形的特征，具有轴对称性，因此1
tan 12
OD AD ∠==；假设 OD a OA OB R ===，半径，222,5AD a R a ==则故：……①，又从R OBC ∆t 中，有
4cm OC=(+4)cm BC a =，，
又得：222
=4)4R a ++（……②；解方程组①②，得4cm a =；
从而R =．
5、已知关于x 的一元二次方程22
(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（4分）
（2）当22
120x x -=时，求m 的值．（6分）
解：（1）由题意有22
(21)40m m ∆=--≥， …………………………………2分 解得14m ≤
．即实数m 的取值范围是1
4
m ≤．…………………………………4分 （2）由22
120x x -=得1212()()0x x x x +-=． …………………………………5分
①、若120x x +=，即(21)0m --=，解得1
2
m =．……………………………6分
∵
2
1
＞41，12m ∴=不合题意，舍去． …………………………………………7分
②、若120x x -=，即12x x = ；0∴∆=，由（1）知1
4
m =． ……………9分
故当22
120x x -=时，14
m =． …………………………………………………10分8
6、如图6，直线b x k y +=1与反比例函数2
(>0)k y x x
=
的图象交于A )6,1(，B )3,(a 两点．
（1）求1k 、2k 的值；（4分）
（2）直接写出02
1>-+x
k b x k 时， x 的取值范围；（2分）
（3）如图6，等腰梯形OBCD 中， BC //OD ，OB =CD ，OD 边在x 轴上，过 点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例 函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的 面积为12时，请判断PC 和PE 的大小 关系，并说明理由．（4分）
解：（1）将点A （1，6）代入 反比例函数，得：2166k =⨯=， ……………1分 ∴反比例函数的解析式为6
y x
=
． 又(3)B a ，
在6
y x
=的图象上，∴2a =．则(2 3)B ，． …………………………2分 Q 直线1y k x b =+过16A (，)，(23)B ，两点，
∴11623k b k b +=⎧⎨
+=⎩，． ∴139k b =-⎧⎨=⎩，
．
…………………………………………………………4分
（2）根据16A (，)，(23)B ，两点坐标及函数图象，得：x 的取值范围为12x <<．
……6分 （3）当12OBCD S =梯形，PC PE =． ……………………………………………………7分
设点P 的坐标为()m n ，,23BC OD CE OD BO CD B ⊥=Q ∥，，，（，），
∴(3)322C m CE BC m OD m ==-=+，，，，； …………………………………………8分
∴2OBCD BC OD S CE +=
⨯梯形，即22
1232
m m -++=⨯． ………………………………9分 ∴4m =．又362mn n ==，则．即1
2
PE CE =． ………………………………………10分
∴PC PE =．。