第一讲 数与式1、 绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-（7）()()3211262+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()22244+--x x （10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x 2－2x －1（14） 31a +； （15）424139x x -+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -。
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a -.3、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根。
这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。
例1.若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．例2.函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）Ａ．0个 Ｂ．1个Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个例 3.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时．例4 .抛物线与轴交于两点和，若，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．例5.关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（ ） Ａ． Ｂ．且 Ｃ． Ｄ．且 22y mx x m =+-m x x 25mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =2(21)6y x m x m =---x 1(0)x ，2(0)x ，121249x x x x =++x 22(81)8y mx m x m =+++x m 116m <-116m -≥0m ≠116m =-116m >-0m ≠练习1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x +；（2）x 13＋x 23． 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标 ．3. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且．（1）求，两点坐标； （2）求抛物线表达式及点坐标；4. 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当取时，函数值为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5、已知二次函数，关于的一元二次方程的两个实根是和，则这个二次函数的解析式为第三讲 一元二次不等式的解法1、定义：形如ax 2+bx +c ＞0（a ＞0）（或ax 2+bx +c ＜0（a ＞0））的不等式做关于x 的一元二次不等式。
2、一元二次不等式的一般形式：ax 2+bx +c ＞0（a ＞0）或ax 2+bx +c ＜0（a ＞0）3、一元二次不等式的解集：2(2)(5)y k x k =--+-x 0x =2y ax bx c =++y C x 1(0)A x ，212(0)()B x x x <，M 4-1x 2x 222(1)70x m x m --+-=221210x x +=A B C 2y ax c =+x 1x 2x 12x x ≠x 12x x +a c +a c -c -c 212y x bx c =-++x 2102x bx c -++=1-5-4、解一元二次不等式的一般步骤：（1）将原不等式化成一般形式ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））；（2）计算Δ=b2-4ac；（3）如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。
例1.解下列不等式：（1）4x2-4x＞15；（2）-x2-2x+3＞0；（3）4x2-4x+1＜0例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x2+12x-12的值等于0？大于0？小于0？例3.若关于x的方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
练习1.解下列不等式：（1）4x2-4x＜15；（2）-x2-2x+3＜0；（3）4x2-4x+1＞0（3）4x2-20x＜25；（4）-3x2+5x-4＞0；（5）x（1-x）＞x（2x-3）+102.m 是什么实数时，关于x 的方程mx 2-（1-m ）x +m =0没有实数根？3.已知函数y =12x 2－3x －34，求使函数值大于0的x 的取值范围。
含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答. 1.二次项系数含参数a （按a 的符号分类） 例1.解关于x 的不等式：2(2)10.ax a x +++>例2.解关于x 的不等式：2560(0)ax ax a a -+>≠2.按判别式∆的符号分类例3.解关于x 的不等式：240.x ax ++>例4.解关于x 的不等式：22(1)410.()m x x m +-+≥为任意实数3.按方程20ax bx c ++=的根12,x x 的大小分类。