1．计算下列定积分： ⑴3sin()3x dx πππ+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3x dx πππ+⎰3sin()()33x d x ππππ=++⎰3cos()3x πππ=-+[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033ππ=----=。

【解法二】应用定积分换元法令3x u π+=，则dx du =，当x 从3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43π，于是有3sin()3x dx πππ+⎰4323sin udu ππ=⎰4323cos u ππ=-42[coscos ]33ππ=-- [cos(cos )]033ππ=----=。

⑵132(115)dxx -+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dx x -+⎰1321(115)(115)5x d x --=++⎰21211(115)52x --=⋅+-22111[]10(1151)(1152)=--+⨯-⨯211(1)1016=--51512=。

【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则15dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有132(115)dx x -+⎰163115u du -=⎰21611152u -=⋅-211(1)1016=--51512=。

⑶32sin cos d πϕϕϕ⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sin cos d πϕϕϕ⎰32cos cos d πϕϕ=-⎰4201cos 4πϕ=-441[cos cos 0]42π=--1[01]4=--14=。

【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到2π时，u 从1单调变化到0，于是有320sin cos d πϕϕϕ⎰031u du =-⎰130u du =⎰4114u =14=。

⑷30(1sin )d πθθ-⎰；【解】被积式为3(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。

由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对3sin d θθ的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：sin cos d d θθθ=-，余下的22sin 1cos θθ=-，这样得到的2(1cos )cos d θθ--便为变量代换做好了准备。

具体的变换方式有如下两种： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式30(1sin )d πθθ-⎰201sin sin d d ππθθθθ=-⎰⎰20(1cos )cos d ππθθθ=+-⎰301(cos cos )3ππθθ=+-331(cos cos0)(cos cos 0)3πππ=+---1(11)(11)3π=+-----43π=-。

【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到π时，u 从1单调变化到1-，于是有30(1sin )d πθθ-⎰201sin sin d d ππθθθθ=-⎰⎰20(1cos )cos d ππθθθ=+-⎰121(1)u du π-=+-⎰3111()3u u π-=+-1(11)(11)3π=+-----43π=-。

⑸226cos udu ππ⎰；【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：21cos cos 22u u +=，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：21cos 2cos 2u u +=，使之可以换元成为基本可积形式： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式226cos udu ππ⎰261cos 22u du ππ+=⎰226611(cos 22)22du ud u ππππ=+⎰⎰ 226611(sin 2)22u u ππππ=+11[()(sin sin )]22623ππππ=-+-1(23π=-。

【解法二】应用定积分换元法令2u x =，则12du dx =，当u 从6π单调变化到2π时，x 从3π单调变化到π，于是有226cos udu ππ⎰261cos 22u du ππ+=⎰226611(cos 22)22du ud u ππππ=+⎰⎰ 23611(cos )22u xdx ππππ=+⎰311[()sin ]2262x ππππ=-+ 11[(sin sin )]2323πππ=+-1(234π=-。

⑹；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x u =，当x 从0单调变化到时，u 从0单调变化到2π，且u ==，dx udu =，使得u udu =201cos 222udu π+=⎰ 220cos 2du udu ππ=+⎰⎰2201cos 222uud u ππ=+⎰ 2201sin 22uu ππ=+1(sin 0)22ππ=+-2π=。

⑺12dx x； 【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x u =，当x单调变化到1时，u 从4π单调变化到2π2cos sin u u ==，cos dx udu =，使得12dx x 224cos cos sin u udu u ππ=⋅⎰224cot udu ππ=⎰224(csc 1)u du ππ=-⎰ 24(cot )u u ππ=--[(cotcot )()]2424ππππ=--+-14π=-。

⑻ax ⎰（0a >）；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x a u =，当x 从0单调变化到a 时，u 从0单调变化到2π，且222sin sin cos x a u a u ==⋅，cos dx a udu =，使得ax⎰2220sin cos cos a u a u a udu π=⋅⋅⎰422sin 24audu π=⎰4201cos 442a u du π+=⎰421(sin 4)84a u u π=+41[(sin 20)]824a ππ=+-4116a π=。

⑼1【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令tan x u =，当x 从1单调变时，u 从4π单调变化到3π，且222sec tan sec uduu u ==2cos sin u du u =21sin sin d u u =使得13241sin sin d u uππ=⎰ 这时，再令sin u t =，当u 从4π单调变化到3π时，t从2单调变化到2， 又得3241sin sin d u u ππ⎰21dt t ===-=。

⑽⎰；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法。

由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，需要先将其转化为标准形：==现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令1sin x u -=，当x 从0单调变化到1时，1x -从1-单调变化到0，从而u 对应从2π-单调变化到0，cos u ===，cos dx udu =，于是⎰2cos cos u udu π-=⋅⎰021cos 22u du π-+=⎰0211(sin 2)22u u π-=+11{[0()][sin 0sin()]}222ππ=--+--4π=。

⑾41⎰；【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：u =，当x 从1单调变化到4时，u 从1单调变化到2，且由此得2x u =，2dx udu =11u =+，于是41⎰2121udu u =+⎰2112(1)1du u =-+⎰212(ln 1)u u =-+2[(21)(ln3ln 2)]=---32(1ln )2=-22(1ln )3=+。

【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令1u +=，当x 从1单调变化到4时，u 从2单调变化到3，且由此得2(1)x u =-，2(1)dx u du =-1u=，于是41⎰322(1)u du u -=⎰3212(1)du u =-⎰322(ln )u u =- 2[(32)(ln3ln 2)]=---32(1ln )2=-。

⑿1【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：u =，当x 从34单调变化到1时，u 从12单调变化到0，且由此得21x u =-，2dx udu =-11u =-，于是101221u du u -=-⎰12012(1)1du u =+-⎰1202(ln 1)u u =+-112(ln ln1)22=+-12ln 2=-。

【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，1u =，当x 从34单调变化到1时，u 从12-单调变化到1-，且由此得21(1)x u =-+，2(1)dx u du =-+，1u=，于是11122(1)u du u ---+=⎰12112(1)du u --=+⎰1212(ln )u u --=+112[()(1)ln ln 1)]22=---+---12ln 2=-。

⒀1-⎰；【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：令u =，当x 从1-单调变化到1时，u 从3单调变化到1，且由此得21(5)4x u =--，12dx udu =-1u=，于是1-⎰123111(5)42u udu u --=⋅-⋅⎰1231(5)8u du =-⎰31311(5)83u u =- 311[(13)5(13)]83=---16=。

⒁1221xedx x ⎰； 【解】由于11221xx e dx e dx x x =⋅，为含复合函数1x e 的积分，且微分部份21dx x 仅与复合函数1xe 之中间变量1x 的微分21dx x-相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式1221xe dx x ⎰1211x e d x=-⎰121x e =-112()e e =--e =-【解法二】应用定积分的换元法令1u x =，当x 从1单调变化到2时，u 从1单调变化到12，且由此得21dx du x-=，于是1221xe dx x ⎰12211x e dx x=⎰121u e du =-⎰121u e =-112()e e =--e =-⒂212t tedt -⎰；【解】为含复合函数22t e-的积分，且微分部份tdt 与复合函数22t e-之中间变量22t -的微分tdt -仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式2120t te dt -⎰2212()2t te d -=--⎰2120t e -=-102()ee -=--1=-。