广东华南师大附中2020届高三综合测试（一）数学试题（文）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，总分值150分，考试用时120分钟．本卷须知：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试终止后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分 选择题〔共50分〕一、(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1. 假设集合 A = {1，2，3}，B = {0，1，2，5}，那么U = A ∪B ，那么∁U (A ∩B )的元素的个数为〔 〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．假如映射f ：A →B 满足集合B 中的任意一个元素在A 中都有原象，那么称为〝满射〞．假设集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，那么从A 到B 的不同满射的个数为 〔 〕 A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．设 f (x ) = ⎩⎨⎧ | x －1 |－2 | x | ≤ 1 1 + x 2 | x | > 1，那么 f (f (2)) =〔 〕A ．－2B ．2C ．5D ． 264． 函数 f (x )=x 2+1(x >0)，那么 f －1 (10) = 〔 〕 A ．101 B ．99 C ．3 D ． －3 5． 函数 f (x ) =ax 3+(a －1)x 2+(b －3)x+b 的图象关于原点成中心对称，那么 f (x ) 〔 〕A ．有极大值和极小值B ．有极大值无极小值C ．无极大值有极小值D ． 无极大值无极小值6．为了得到函数 y = 3×( 13 ) x 的图象，能够把函数 y = ( 13 ) x 的图象 〔 〕A ．向左平移 3 个单位长度B ．向右平移 3 个单位长度C ．向左平移 1 个单位长度D ． 向右平移 1 个单位长度7． f (x ) = ln (e x －e －x2 )，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．非奇非偶函数，在〔0，+∞〕上为增函数；B ．奇函数，在 R 上为增函数；C ．非奇非偶函数，在〔0，+∞〕上为减函数；D ． 偶函数，在 R 上为减函数。

8．函数 f (x )的导数 f ' (x )的图象如右，那么 f (x )的图象可能是 〔 〕9．函数y = x 2－2x在区间[a ,b ]上的值域是[－1,3], 那么点(a ,b )的轨迹是右图中的 〔 〕A ．线段AB 和线段AD B ．线段AB 和线段CDC ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD 10．设b > 0，二次函数 y = ax 2 + bx + a 2－1 的图像为以下之一，那么 a 的值为 〔 〕A ．1B ．－1C ．－1－ 52D ．－1 + 52第二部分 非选择题〔100分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．11．函数y = x + 1x 的极大值为 。

12．函数 y = lg (x 2+3kx +k 2+5)的值域为R ，那么k 的取值范畴是 。

13．函数 f (x )=2x +x ，g (x )=log 2x +x ，h (x )=log 2x －2的零点依次为a , b , c ，那么a , b , c 的大小关系是 。

14．假设函数 f (x ) 在[0，1]上满足：关于任意的 s 、t ∈[0,+∞]，λ >0, 都有f (s ) + λ f (t )1+λ<f(s +λ t1+λ)，那么称 f (x ) 在[0，1]上为凸函数。

在三个函数 f 1(x ) = x －1，f 2(x ) = 2 x －1，f 3(x ) = ln x + 1 中，在[0，1]上是凸函数的 有 〔写出您认为正确的所有函数〕。

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值12分〕函数f (x )当x > 0时，f (x ) = x 2－x －1．假设f (x )为R 上的奇函数，求f (x )的解析式。

yxO－11yxO －11yx OyxO x yO 13-1 1 C B DA16．(本小题总分值12分)假设存在过点(1, 0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+ 154x－9都相切，求a的值．17．〔本小题总分值14分〕某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓舞销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．〔I〕当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元?〔II〕设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，求出函数P = f (x) 的表达式. 18．〔本小题总分值14分〕函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-.〔I 〕求函数()f x 的解析式； 〔II 〕设函数1()()3g x f x mx =+，假设()g x 的极值存在，求实数m 的取值范畴以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.19．〔本小题总分值14分〕函数f (x ) = x 2 + 2x + ax，x ∈[1,+∞]. 〔I 〕当 a = 12 时，求函数 f (x ) 的最小值；〔II 〕假设对任意 x ∈[1,+∞)，f (x ) > 0 恒成立，试求实数 a 的取值范畴. 20．〔此题总分值14分〕二次函数 f (x ) = x 2 + x ，假设不等式 f (－x ) + f (x )≤2 | x | 的解集为C . 〔I 〕求集合C ；〔II 〕假设方程 f (a x )－a x + 1 = 5〔a > 0，a ≠1〕在 C 上有解，求实数 a 的取值范畴； 〔III 〕记 f (x ) 在C 上的值域为 A ，假设 g (x ) = x 3－3tx + t2 ，x ∈[0,1] 的值域为B ，且 A ⊆ B ，求实数 t 的取值范畴.参考答案一、BCDCA DADAB 11. －212. 〔－∞，－2〕∪[2，+∞]13. a<b<c14. f 3(x )15. 因为f (x )为R 上的奇函数，那么 f (–0) = –f (0)，因此f (0) = 0 当x < 0时，–x > 0，又f (x )为R 上的奇函数， 因此 f (x ) = –f (–x ) = –[(–x )2–(–x )–1] = –x 2–x + 1因此⎪⎩⎪⎨⎧>--=<+--=)0(1)0(0)0(1)(22x x x x x x x x f 16. 设过(1, 0)的直线与y=x 3相切于点(x 0, x 03)，因此切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-，又(1, 0)在切线上，那么x 0=0或x 0=－23 ， 当x 0=0时，由y=0与21594y ax x =+-相切可得a=－2564 ， 当x 0=－23 时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得a=－1，因此a =1-或25-64 17．解：(I)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为 x 0个，那么 x 0 = 100 + 60－510.02 = 5504分因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元. 6分(II)当 0 < x ≤100时，P = 60 8分 当 100 < x < 550时，P = 60－0.02 (x －100) = 62－x 50 11分当 x ≥550时，P = 5113分∴P = f (x ) = ⎩⎨⎧ 60 (0 < x ≤100)62－x50 (100 < x < 550) 51 (x ≥550)(x ∈N )14分18.〔I 〕由,切点为(2,0), 故有(2)0f =, 即430b c ++=又2()34f x x bx c '=++，由(2)1285f b c '=++=得870b c ++=联立①②，解得1,1b c =-=.因此函数的解析式为32()22f x x x x =-+- 〔II 〕因为321()223g x x x x mx =-+-+ 令21()34103g x x x m '=-++= 当函数有极值时，那么0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解，由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤.①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值②当m <1时,g '(x )=0有两个实数根x 1=13 (2－1－m ), x 2=13 (2+1－m ), g (x ),g '(x ) 的情因此在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=x 时，()g x 有极大值；当1(23=+x 时，()g x 有极小值. 19．(I) 解：当 a = 12 时，f (x ) = x + 12x + 2 2分 ∵x ≥1时，f ' (x ) = 1－12x 2 > 0 4分 ∴f (x ) 在区间 [1,+∞] 上为增函数，5分 ∴f (x ) 在区间 [1,+∞] 上的最小值为 f (1) = 727分(II) 解法一：在区间 [1,+∞] 上，f (x ) = x 2 + 2x + a x> 0恒成立 ⇔ x 2 + 2x + a > 0恒成立 8分⇔ a > －x 2－2x 恒成立9分 ⇔ a > (－x 2－2x )max ， x ≥111分 ∵－x 2－2x = －(x + 1) 2 + 112分 ∴当 x = 1 时，(－x 2－2x )max = －313分∴a > －314分解法二：在区间 [1,+∞] 上，f (x ) = x 2 + 2x + ax > 0恒成立 ⇔ x 2 + 2x + a > 0恒成立 8分 设y = x 2 + 2x + a ，x ∈[1,+∞]， 9分 ∵y = x 2 + 2x + a = (x + 1) 2 + a －1 递增， 10分 ∴当 x = 1 时，y min = 3 + a 11分当且仅当 y min = 3 + a > 0 时，函数 f (x ) > 0恒成立， 13分∴a > －3 14分解法三：f (x ) = x + ax + 2，x ∈[1,+∞]当 a ≥0 时，函数 f (x ) 的值恒为正； 8分当 a < 0 时，函数 f (x ) 递增，故当 x = 1 时，f (x )min = 3 + a 10分 当且仅当 f (x )min = 3 + a > 0 时，函数 f (x ) > 0 恒成立， 12分 ∴a > －3 14分 20. (I) f (x ) + f (－x ) = 2x 2当 x ≥0时，2x 2≤2x ⇒ 0≤x ≤1当 x < 0时， 2x 2≤－2x ⇒ －1≤x < 0 ∴集合 C = [－1,1](II) f (a x )－a x + 1－5 = 0 ⇒ (a x ) 2－(a －1)a x －5 = 0，令 a x = u 那么方程为 h (u ) = u 2－(a －1)u －5 = 0 h (0) = －5当 a > 1时，u ∈[1a ,a ]，h (u ) = 0 在 [ 1a ,a ] 上有解，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧ h(1a ) = 1a 2－1 + 1a －5≤0h(a) = a 2－(a －1)a －5≥0⇒ a ≥5 当 0 < a < 1时，u ∈[a ,1a ]，g (u ) = 0 在 [a ,1a ]上有解，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧ h(a)≤0 h( 1a )≥0⇒ 0 < a ≤12∴当 0 < a ≤12 或 a ≥5时，方程在C 上有解，且有唯独解。