b2
N
⎥ ⎥
""⎥
⎢⎣bN1
bN 2
"
bNN
⎥ ⎦
∫ ∫ blm
=
1 2
π 0
el
⋅ em*
sinθ dθ
=
1 2
π e jk ( zm − zl ) cosθ sinθ dθ
0
=
sin k(zm − zl ) k(zm − zl )
=
⎧1 ⎩⎨0
, ,
l=m l≠m
(4.11) (4.12)
blm 为实数，显然满足 blm = bm* l ，则矩阵[B]也为厄米(Hermite)矩阵。 矩阵[A]和矩阵[B]主要取决于单元间相对位置，因此称它们为结构矩阵。把
[e]
=
⎢⎢1⎥⎥ ⎢# ⎥
，
[ A]
=
[e][e]+
=
⎢⎢1 ⎢
1" "
1⎥⎥ ⎥
，
⎢⎣1⎥⎦
⎢⎣1 1 " 1⎥⎦
blm
=
sin k(zm − zl k(zm − zl )
)
=
sin[(m − l)π (m − l)π
]
=
⎧1 ⎨⎩ 0
, ,
l=m l≠m
得本征值方程 (1 − p) 1 1 (1 − p)
4.1.1 线阵方向图函数的矩阵表示
一个单元数为 N，间距和激励为任意的线阵辐射场方向图函数可写作
N
∑ E(θ ,ϕ ) = f (θ ,ϕ )
I e e jαn jkzn cosθ n
n=1
(4.5)
式中， f (θ ,ϕ ) 为单元方向图函数，为简化分析，设 f (θ ,ϕ ) ＝1，即单元为理想 点源，此时上式可写作
F (x) 为 n 维欧氏空间 Rn 中区域 D 上的实值函数，称为目标函数；
x* = ( x1*, x2*,", xn* ) 为目标向量。 上式的含义是：在 n 维欧氏空间 Rn 中寻找一个目标向量 x* ，使目标函数 F (x) 取
极大值或极小值。
有约束最优化问题的一般形式为
F (x*) = max F (x) x∈D
式(4.8)和(4.11)代入(4.7)得用矩阵表示的方向性系数
D
=
[I [I
]+[ A][I ]+ [ B ][ I
] ]
(4.13)
183
阵列天线分析与综合讲义
王建
4.1.3 方向性系数 D 的最优化方法
由于[I ]+[B][I ] 表示辐射总功率，矩阵[B]是正定矩阵，目标函数 D 是两个厄 米型之比，则由矩阵的本征值定理可得如下结论： (1) 本征值方程 | [A]-p[B] |=0 的本征值( p1 ≤ p2 ≤ " ≤ pN )是实数；
且有关系：
alm = elem* = (emel*)* = am* l
(4.10c)
说明矩阵[A]为厄米(Hermite)矩阵。式(4.7)的分母为
∫1 π E(θ ) ⋅ E*(θ ) sinθ dθ = [I ]+[B][I ]
20
⎡b11 b12 " b1N ⎤
式中，
[B]
=
⎢⎢b21 ⎢"
b22 "
时，矩阵[B]的非对角元素不为零，这时即使θ0 = π / 2 的条件不变， Dmax 与 [I ]opt 仍与 d = λ / 2 时的不同。为了说明这一情况，我们编程计算了直线阵不同间距 d
时对应的 Dmax 和 [I ]opt ，列于下表 4-1 中。
表 4-1 Dmax与[I]opt与d的关系。θ0 = π / 2, N = 5
(4.4b)
此式的含义是：在满足 Gi (x*) ≥ 0 or ≤ 0 及 H j (x*) = 0 的约束条件下，在 n 维欧 氏空间 Rn 中寻找一个向量 x* ，使目标函数 F (x) 取极大值或极小值。
阵列天线的优化设计，就是天线参数
zn*
,
I
* n
,
α
* n
的最优化选择。除求目标函数
的极值问题外，还常采用数值分析方法，如间距微扰分析、幅度微扰分析和这
(4.12)式计算 blm 得矩阵[B]及 [B]−1 ，由(4.16)得向量[e]，从而可确定式(4.14)表示
的 pN 和式(4.15)表示的[I ]opt 。
为简化求逆过程，可用下式确定 Dmax
Dmax
=
[
I
]+ opt
[
B][
I
]opt
(4.17)
4.1.3 实例
【例 4.1】已知间距 d = λ / 2 ，单元数为 N，波束最大指向为侧向，即θ0 = π / 2 ，
(2) D 的下界为 p1 ，上界为 pN ，即 p1 ≤ D ≤ pN ；
(3) 当[I ]满足 [ A][I ] = p1[B][I ] ，则 Dmin = p1 ；
(4) 当[I ]满足 [ A][I ] = pN [B][I ] ，则 Dmax = pN 。 可以证明本征值方程 | [A]-p[B] |=0 只有一个根 pN ，其余为 0，且 pN = Dmax = [e]+[B]−1[e] > 0
单元为无方向性点源 f (θ ,ϕ ) = 1 。要求计算 Dmax 和最佳激励向量 [I ]opt 。 解： zn = (n − 1)d = (n −1)λ / 2
由式(4.14)[e]中元元素 en = e− jkzn cosθ0 = 1 ，则
184
阵列天线分析与综合讲义
王建
⎡1⎤
⎡1 1 " 1⎤
(4.8)
式中，
[ A]
=
[e][e]+
=
⎡e1 ⎢⎢e2 ⎢#
⎤
⎥
⎥ ⎥
⎡⎣e1*
e2*
"
eN*
⎤⎦
=
⎡ ⎢ ⎢
e1e1* e2e1*
⎢"
e1e2* " e2e2* " "
e1eN*
e2eN* "
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡a11 ⎢⎢a21 ⎢"
a12 " a1N ⎤
a22 " a2N
⎥ ⎥
" "⎥
⎢⎣eN
例如，一个 N 单元的任意间距 zn 、任意激励幅度 In 和相位αn 的直线阵列， 其方向性系数可表示为
D = D(z1, z2,", zN , I1, I2,", IN , α1,α2,",αN )
(4.1a)
现在的问题是，改变上式括号中参数为
zn* ,
I
* n
,
α n* ,
n
=
1,
2,",
N
，使
N
∑ E(θ ) =
I e e jαn jkzn cosθ n
= [e]+[I ] = [I ]T [e]*
n =1
(4.6)
式中，[I ]
=
⎡ ⎢
⎢
I1 I2
⎢#
⎤ ⎥
⎥ ⎥
，
[I ]T = [I1 I2 " IN ] ——转置，
In = Ine jαn
⎢ ⎢⎣
IN
⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢
e1*
⎤ ⎥
[e]*
=
⎢e2* ⎢⎢#
⎥ ⎥ ⎥
，
[e]+ = [e1* e2* " e*N ] ——共轭转置，
en = e− jkzn cosθ
⎢⎣e*N ⎥⎦
182
阵列天线分析与综合讲义
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4.1.2 方向性系数 D 的矩阵表示
由公式
∫ ∫ ∫ D =
4π E(θ0 ) ⋅ E*(θ0) 2π dϕ π E(θ ) ⋅ E*(θ ) sinθ dθ
d/λ
Dmax
I1
I2
I3
I4
I5
0.2 3.692753 7.855386 -19.212031 26.406042 -19.212031 7.855386
0.3 3.941690 2.232211 -2.239184 3.955635 -2.239184 2.232211
0.4 4.350903 1.199222 0.325440 1.301579 0.325440 1.199222
1" " 0"
0⎥⎥ ⎢⎢1⎥⎥
⎥ ⎢# ⎥
0
⎥ ⎦
⎢⎣1⎥⎦
=
[1 1
N
"
1]
个1
⎢⎢1⎥⎥ ⎢# ⎥ ⎢⎣1⎥⎦
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭个N
=
N
1
[I ]opt = [B]−1[e] = [e] = [1 1 " 1]
此 式 表 明 ： 当 d = λ / 2 时 ， 具 有 最 大 方 向 性 系 数 Dmax = N 的 最 佳 激 励 为
[ A] − p[B] = " " 11
1" 1
1" 1 "
= (−1)N pN −1( p − N ) = 0
1 " (1 − p)
此式的非零解为： pN = Dmax = N
另一方面：
pN = Dmax = [e]+[B]−1[e]
⎡1 0 " 0⎤ ⎡1⎤
⎡1⎤ ⎫
= [1
1
"
1] ⎢⎢0 ⎢ ⎢⎣0