同理可得
(dB)
∑ Seven
=
e
j
N −1u 2
{sin(
Nu
/
2)
sin(u / 2)
+
N / 2−1
nπ
2 sin( ) cos[(n
n=0
N −1
−
N −1)u]} 2
(1.134)
其最大值为
∑ Seven max
=
Seven
|u=0 =
N
N / 2−1
+ 2 sin(
nπ
)
n=0
N −1
(1.135)
⋅
(N
−
1) sin(u
/
2)
−
sin[( N
−
1)u
/
2]
j2
sin2 (u / 2)
取其绝对值
|
S
|=
d 2
|
(N
− 1)sin(u / 4) − sin[(N sin2 (u / 2)
− 1)u
/
2]
|
← z = e− ju (1.128a) (1.128b)
■方向图
反相激励的偶数单元三角形分布阵列的方向图可按下式计算 F (θ ) = 20lg | S(θ ) | (dB) Smax
∑ S1(u)
=
N −1
e jnu
n=0
=
e j( N −1)u / 2
sin(Nu / 2) sin(u / 2)
(1.131a)
∑ S2 (u)
=
N −1
sin(
n=0
nπ )e N −1
jnu
∑ ∑ N −1−1 2
= sin(
nπ
)e
jnu
+
e
j N −1u 2
+
N −1
sin( nπ )e jnu
激励幅度为中间大两端小的分布通常称为“幅度锥削阵”。
§1.7 谢昆诺夫单位圆辅助分析阵列特性
39
阵列天线分析与综合讲义
王建
1.7.1 谢昆诺夫单位圆
一个 N 单元直线阵，其馈电幅度为 In, n = 0,1, 2,", N − 1 ，相邻单元相位差为 α ，等间距 d 排列，则其阵因子为
N −1
∑ S = Ine jnu ， u = kd cosθ + α n=0
(1.141)
若令
w = e ju
(1.142)
则阵因子可写作
N −1
∑ S(w) = Inwn n=0
(1.143)
此为谢昆诺夫引用的阵列多项式。注意 w 与 Z 变换中的 z = e− ju 不同。我们知道，
一个 N-1 次幂的多项式有 N-1 个根(复根)，可以写成 N-1 个因式的连乘积形式
三、N 为偶数的三角形幅度分布—反相激励
如图 1-18 所示。前面几种情况都是同相激励，这里的反相激励是指偶数阵
列分为两半，一半单元与另一半单元相位相差 180o，这就使得一半单元的幅度为
正，另一半的幅度为负。
1. 直接相加法
采用同样的计算过程可得
∑ S
=
j N −1u
de 2
⋅2
N / 2−1
j n sin[(n
S(w) = IN −1(w − w1)(w − w2 )"(w − wN −1)
(1.144)
式中， wi , i = 1, 2,", N − 1是多项式的根(零点)。每一项可看作是一个二元阵的阵 因子。由式(1.144)的连乘积形式，可得如下有意义的结论： (1) N 单元阵列的阵因子是 N-1 个二元阵的阵因子的乘积，每个二元阵产生一
kd
π
副瓣位置：近似为两个零点之间的中点，即
us
=
u01
+ u02 2
=
2.08
⇒
θs
= arccos( us ) = arccos( 2.08)
kd
π
= 48.53o
副瓣电平： SLL = 20 lg | Sodd (us ) |= −20.3dB Smax
前面介绍的三角形幅度分布直线阵列、正弦幅度分布直线阵列，当馈电相位 为同相(α = 0 )时均为侧射阵列，与均匀直线阵相比，在相同单元数情况下，它 们的波束宽度要宽些，副瓣要低些。同理，梯形幅度分布的直线阵列也有这样的 特点。因此可得出这样的结论：低副瓣的直线阵列天线其激励分布一般是中间大， 两端小，其主瓣宽度比均匀直线阵的大。在相同阵列长度情况下，副瓣降低是以 加宽主瓣宽度为代价的。
S = e j2u[sin(5u / 2) − cos(2u) ] sin(u / 2) 2 cos(2u) −1
可画出正弦分布直线阵列的归一化方向图如图 1-21 所示。
王建
(1.139) (1.140)
(a) 直角坐标方向图
(b) 极坐标方向图
图 1-21 N＝5，d=λ/2 时的正弦幅度分布直线阵列方向图
−
z −( N −1) / 2 (z1/ 2
+ (N − 1)(z−1/ 2 − z −1/ 2 )2
−
z1/ 2 )
=
j N −1u
de 2
− j N −1u
e2
−
z
j N −1u 2
+
(N
− 1)(e
ju / 2
(e− ju / 2 − z ) ju / 2 2
−
e−
) ju / 2
=
d
e
j N −1u 2
(a) 直角坐标方向图
(b) 极坐标方向图
图 1-17 N＝10，d=λ/2，α = 0 时的三角形幅度分布阵列方向图
■主瓣宽度
上图中-3dB 对应的主瓣宽度为： (BW )h = 16.5o
■副瓣电平
由上图可得副瓣电平为： SLL = -25.77 (dB)
■方向性系数
可计算得方向性系数为 D = 6.667 或 D = 8.24 (dB)
35
阵列天线分析与综合讲义
王建
式中， Smax
=
N(N − 4
2)
d
为同相激励的偶数单元三角形分布阵列最大值。结果如
图 1-19 所示。这种反相激励阵列形成的方向图称为差方向图。
(a) 直角坐标方向图
(b) 极坐标方向图
图 1-19 N＝10，d=λ/2 时的反相激励三角形分布阵列方向图
四、正弦幅度分布的直线阵列
jad
)
= − 1 e j(N −1)u / 2 sin( π )
2
N −1 sin[1 (u +
cos( N − 1 u) 2
π )]sin[1 (u −
π
)]
2 N −1 2 N −1
S1(z) 与 S2 (z) 的和为
sin( N u)
1 sin( π ) cos( N − 1 u)
S = e { j( N −1)u / 2
2 u
sin( )
−2 sin[1 (u +
N −1
2
π )]sin[1 (u −
π
} )]
2
2 N −1 2 N −1
式中， u = kd cosθ 。
■绘制方向图
取 N=5， d = λ / 2 时，直接相加法所得阵因子为
(1.137) (1.138)
38
阵列天线分析与综合讲义
Sodd = e j2u cos(u)[4 cos(u) + 2 + 2 ] Z 变换法所得阵因子为
设有一个 N 单元直线阵列，间距为 d，激励相位为每个单元同相(α = 0 )， 激励幅度的包络函数为
I (ζ ) = 1 + sin[ πζ ] ，ζ = nd ， n = 0,1, 2,", N − 1。 (N − 1)d
(1.129)
分别用直接相加法和 Z 变换法导出阵因子 S(u) ，绘出方向图，并计算 S(u) 在 0 ≤ u ≤ π 区间内的零点、副瓣位置、副瓣电平。
最大值为： Smax = Sodd (u) |u=0 = 6 + 2 = 7.414
零点位置：由 | Sodd (u) |= 0 确定，即
u01 = π / 2
⇒
θ01
= arccos( u01 ) kd
= arccos(0.5) = 60o
u02 = 2.59
⇒
θ02
= arccos( u02 ) = arccos( 2.59) = 34.47o
(1.136)
S2 ( z)
=
z sin(ad ) − z−N+2 sin(Nad ) z2 − 2z cos(ad ) + 1
←
⎧⎪⎪sin(ad ) = ⎨ ⎪⎪⎩sin(Nad )
π sin( )
N −1 = − sin( π
N−
) 1
=
z sin(
π )
N −1
(z
−
1+ e jad
z −( N −1) )(z − e−
阵列天线分析与综合讲义
■主瓣最大值
出现在 u
=
0 处， Smax
=
lim S(u)
u→0
=
N(N − 4
2)
d
■方向图
归一化阵因子函数为： F (θ ) =| S(θ ) | Smax
分贝表示为
F (θ ) = 20lg | S(θ ) | Smax
其归一化方向图如图 1-17 所示。
王建
(1.126)