．
根据柯西准则的否命题判定某些级数的发散性，这一点经常用到而且非常方便．
例1[1](P8)用柯西收敛准则的否命题证明调和级数的发散性．
证明略．
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是适用范围比较广泛的两种判别法．对于某一具体的数项级数，如果它是两个级数通项积的形式时，可以首先考虑这两种判别法．较之于定义与柯西收敛准则，其优越性就非常明显了．
证明(ⅰ)由已知条件得
存在 ，当 时，有
由于当 时， 级数是收敛的，故由比较原则得 收敛．
同理可证（ⅱ）成立．
定理7[10](P1)高斯判别法设 为正项级数，且存在某正整数 及常数 ,
（ⅰ）若对一切 ，成立不等式
，
则级数 收敛；
（ⅱ）若对一切 ，成立不等式
，
则级数 发散．
定理8设 是正项级数，且存在某正数 及常数 ，
则
，
而
（10）
由（2）式得
．（11）
由（4）式得
= ．（12）
其中
．（13）
由（2）（5）（6）（7）（8）（12）（13）式得
= ．（14）
由（6）（7）（8）（10）（11）（14）式得
．（15）
由于 故存在 ，当 时，有
．（16）
由（9）（15）（16）式一定存在 ，
当 ，有 即： ,
由于 收敛，由引理1， 收敛．
3结论
任何收敛的正项级数都存在比它收敛慢的正项级数；任何发散的正项级数都存在比它发散慢的正项级数．因此通过选择级数作为“比较标准”建立一个对一切正项级数都有效的收敛判别法或发散判别法是不可能的．例如可以考虑用 或其它级数作为比较对象建立起比以上判别法更优越的判别法．
以上几种具体的正项级数的判别法都是以比较原则为基础，选用不同收敛级数作为比较对象，得到不同的判别法．正项级数敛散性判别法的判别范围广泛与否，取决于它的比较对象的选取，比较对象的收敛速度越慢，它的使用范围越广．而正项收敛级数的收敛速度完全取决于这个无穷小的“阶”，即当 时它以什么样的速度趋近于零．
正项级数敛散性判别法的讨论
1引言
数学分析是以极限为工具对函数的性质进行研究的学科．而级数作为一种特殊的极限，也成为研究函数的一种工具．它是用一种区别于微分、积分的方法来研究函数的行为，这就是无限逼近的方法．研究级数的最终目的就是希望用级数来逼近某个函数或某个函数的极限，从而把对函数的研究转化为对函数项级数的研究，这样可以得到一些新的函数性质，这些性质往往从函数本身很难得到．而正项级数作为一种应用广泛的数项级数，首先有必要去详尽的讨论正项级数的敛散性．
根据数列的柯西收敛准则类似的给出了级数的柯西收敛准则．
柯西收敛准则很少用于判别具体的级数的收敛性，其问题在于通常对于具体的级数而言，柯西收敛准则的条件是否满足很难确定．但较之于定义的优越性在于不知道收敛的常数的情况下，解决了级数的收敛问题．另外由柯西收敛准则可以写出柯西收敛准则的否命题．
级数发散的充要条件：存在某正数 ，对任何正整数 ,总存在正整数 和 ，有
则总能把数列的极限问题转化为级数的求和问题．即：级数的敛散性问题和数列的极限问题没有本质的区别．
所以级数收敛的定义是类比数列收敛的定义给出的．它给出了级数收敛的一种特征，当用定义来判别某一级数的敛散性时，不仅要判别该级数收敛与否，而且要判别它是否收敛于某一常数．而一般研究级数更多关心的是级数是收敛的还是发散的，因为大多数级数的和是很难求出的，所以它的使用有很大的局限性．
证明 已知 ，
所以对任意的 ，存在 ，当 时，有： ．
故得到
由上式得到
有
设
则 满足斯托克斯公式[4] (P235-240)的条件，
故
．
又设
同理可得： ．
由 的任意性得： ．
由以上引理得到定理6优于定理5．即正项级数能用拉贝判别法判定其收敛性的，则必可用对数判别法判别之．
以级数 作为比较对象得到定理7．
则有 收敛可推出 收敛； 发散可推出 发散．
为证明方便给出以下几式：
设 （1）
设 （2）
设 （3）
设 （4）
时， （5）
时， （6）
时， （7）
时， （8）
这里 ,且 ．
证明（ⅰ）由已知条件
，
得到当 时有
，（9）
由于 ，故存在 满足： ，
不妨设
[1]P13-14，
当 时，该级数收敛；当 时，该级数发散．
以级数 作为比较对象得到定理8．由于它的通项收敛于零的速度比等比级数 、 级数、 都要慢，故它的适用范围要比用以上级数得到判别法的适用范围更广泛．
例２ 判别级数 的敛散性．
解 设
所以
，
．
由于 ，明显存在 ，当 时
成立，
故 收敛．
用定理３到定理７的判别法均不能判别其收敛性．
对于用积分判别法来判断级数的敛散性时，正项级数的敛散性问题完全可以转化为反常积分敛散性的判断．反常积分敛散性判别法与正项级数敛散性判别法有诸多的相似性．该定理虽有比较对象，但比较对象是与该级数等价的无穷积分，由于积分的不同故比较对象也不同．故不能与以上正项级数判别法来比较其适用范围．另外该判别法由于递减条件的限制，有很大的局限性．但这种证明问题的思想却有很大的启示性．它把问题进行了平行的转化，用了“曲线证明”的思想．
（ⅱ）同理，当
有
．
而 发散，由引理1， 发散．
同理可以证明推论1、推论2成立．
定理9[1]P(12-13)积分判别法 设 为 的非负递减函数，那么正项级数 与反常积分 同时收敛或同时发散．
2.4 正项级数敛散性判别法的讨论
正项级数作为一种特殊的级数，除了可以用一般项级数判别法判别外，还有其独有的判别法．正项级数 收敛的充要条件是：它的部分和数列 有界[1](P6)．由它得到的比较原则是判别正项级数收敛和发散的基础．因为大多数级数的敛散性的判别都要以已知收敛的正项级数作为比较对象，从而判别其收敛或发散，由于比较对象的不同当然会得到不同的判别法．把几何级数作为比较对象得到达拉贝尔判别法和柯西判别法；把 级数作为比较对象得到拉贝判别法和对数判别法．由于 级数的收敛速度比几何级数要慢，故用 级数得到的判别法的判别范围广于几何级数得到的判别法．根据这种思想，可以用收敛速度更慢的级数建立起更加优越的判别法．8-10)达拉贝尔判别法
定理4[1](P8-10)柯西判别法
定理5[1](P10-11)拉贝判别法
定理6[9](P1)对数判别法设 为正项级数，且存在某正整数 及常数 ,
(ⅰ)若对一切 ，成立不等式
，
则级数 收敛；
（ⅱ）若对一切 ，成立不等式
，
则级数 发散．
选取几何级数 作为比较对象，得到本文的定理3和定理4．
已知极限 存在，则必有 ．
于是得出定理4要优于定理3．即：正项级数能用达拉贝尔判别法判定其收敛性的，则必可用柯西判别法判定之．
选取 级数[7](P88-89)作为比较对象得到本文定理5和定理6．
下面比较定理5和定理6的判别范围．
引理２已知：极限 存在，证明 ．
2正项级数敛散性判别法的讨论
2.1 一般项级数敛散性判别法
定义法[1](P1)
柯西收敛准则[1](P3)
定理1[1](P23)阿贝尔判别法
定理2[1](P23)狄利克雷判别法
2.2一般项级数敛散性判别法的讨论
首先，关于级数
的和的问题完全可以归结为与此级数有关的数列
的极限问题．
反之，若给出任意的数列
令
在 有
，
所以根据以上讨论，得出如下结论：在判别正项级数的敛散性时，定理8、定理7、定理6、定理5、定理4、定理3，它们的判别范围依次缩小．
（ⅰ）若对一切 ，成立不等式
，
则级数 收敛；
（ⅱ）若对一切 ，成立不等式
，
则级数 发散．
推论1设 为正项级数，且极限
，
存在，则
（ⅰ）当 时，级数 收敛；
（ⅱ）当 时，级数 发散．
推论2设 是正项级数，若
，
则
（ⅰ）当 时，级数 收敛；
（ⅱ）当 时，级数 发散．
证明该定理前先说明几个问题．
引理1[9](P1)设正项级数 、 ，如果从某项起 ，恒有不等式 成立，