验证：
两两作差求公因数，除数就是公因数
45÷1274＝＝2362‧‧‧‧‧‧‧‧‧3‧3‧1 59－45＝14
5599÷÷217＝4＝＝2849‧‧‧‧‧‧‧3‧31 101－59＝42 101÷1274＝＝51704 ‧‧‧‧‧‧‧313
14的因数有：1、2、7、14 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42
15×4－1＝59 59÷7＝8 ‧‧‧‧‧‧ 3 （不符合）
精炼1
（1）3356+7685+904除以13的余数是多少？
3356÷13＝258 ‧‧‧‧‧‧ 2 7685÷13＝591 ‧‧‧‧‧‧ 2 904÷13＝பைடு நூலகம்9 ‧‧‧‧‧‧ 7 2＋2＋7＝11 11＜13 答：3356+7685+904除以13的余数是11。
精炼1
（2）17×354×409×672除以13的余数是多少？
答：这个数可能是2、7或14。
精炼2
73、216、227被某个数b除余数相同，那么，108被这个数除的余数是多少？
216－73＝143
143的因数有：1、11、13、143
227－216＝11
11的因数有：1、11
108÷11＝9 ‧‧‧‧‧‧ 9
答：108被这个数除的余数是9。
例题3
一个大于1的数去除290、235、200时，得余数分别为a，a+2，a+5，则这个自然
17÷13＝1 ‧‧‧‧‧‧ 4
354÷13＝26 ‧‧‧‧‧‧ 6
409÷13＝31 ‧‧‧‧‧‧ 6 672÷13＝51 ‧‧‧‧‧‧ 9
4×6×6×9＝1296
1296＞13
1296÷13＝99 ‧‧‧‧‧‧ 9
答： 17×354×409×672除以13的余数是9。
例题2
有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？
求满足下列条件的最小自然数：用3除余2，用5除余4，用7除余4。请找出这个最 小的自然数。 余数和除数的差相同，可以先找3和5的最小公倍数
3×5＝15
15－1＝14
14÷7＝2 （不符合）
15×2－1＝29 29÷7＝4 ‧‧‧‧‧‧ 1 （不符合）
15×3－1＝44 44÷7＝6 ‧‧‧‧‧‧ 2 （不符合）
答：这个整数是29。
例题5
求满足下列条件的最小自然数：用3除余2，用5除余1，用7除余1。请找出这个最
小的自然数。
余数相同，可以先找出5和7的最小公倍数
5×7＝35
35＋1＝36
36÷3＝12 （不符合）
35×2＋1＝71 71÷3＝23 ‧‧‧‧‧‧2 （符合）
答：这个最小的自然数是71。
精炼5
200÷19＝10 ‧‧‧‧‧‧10 a＋5
答：这个自然数是19。
精炼3
有三个吉利数888,518,666分别除以一个自然数，所得的余数分别为a，a+7， a+10，则这个自然数是多少？
518－7＝511 666－10＝656
888－511＝377
377的因数有：1、13、29、377
656－511＝145
数是多少？
余数不相同，怎么办？ 可以变成余数相同吗？
本验题证小：结： 余数原本不相同， 2变若9成要0÷相验19同证＝求正1除确5 数否‧‧‧‧‧。，‧5a 2还3得5÷要19用＝原1数2 除‧‧‧‧‧。‧7
a＋2
235－2＝233 290－233＝57 290－195＝95
200－5＝195 此时，290、233、195同余 57的因数有：1、3、19、57 95的因数有：1、5、19、95
由题意可知，除数是小于63的自然数， 所以除数可能是：1、2、3、6、43 由于三个余数之和为25， 故三个余数中必有一个大于8（，25除以3的商是8） 根据除数必须大于余数，可以确定除数是43。
63÷43＝1 ‧‧‧‧‧‧20
90÷43＝2 ‧‧‧‧‧‧4
130÷43＝3 ‧‧‧‧‧‧1
20＞4＞1
答：这三个余数中最小的是1。
精练4
有一个整数，用它去除70，110，160所得的3个余数之和是50，那么这个整数是 多少？
70＋110＋160＝340
由题意可知，除数是小于70的自然数，
340－50＝290
所以除数可能是：1、2、5、10、29、58
290的因数有：1、2、5、10、29、58、 由于三个余数之和为50，
145
故三个余数中必有一个大于16（，50除以3的商是16）
根据除数必须大于余数，可以确定除数是29或58。
70÷29＝2 ‧‧‧‧‧‧12 70÷58＝1 ‧‧‧‧‧‧12
110÷29＝3 ‧‧‧‧‧‧23 110÷58＝1 ‧‧‧‧‧‧52
160÷29＝5 ‧‧‧‧‧‧15 12＋23＋15＝50 160÷58＝2 ‧‧‧‧‧‧44 （×）
8 ÷3＝2‧‧‧‧‧‧ 2
╳
╳
8 ÷3＝2‧‧‧‧‧‧ 2
？ 64 ÷3＝ 21‧‧‧‧‧‧ 1
2╳2＝4
4＞3 4÷3＝1‧‧‧‧‧‧11
余数问题
余数的加法定理
1
余数的乘法定理
2
同余定理
3
例题1
求723588＋5770和723588×5770除以11的余数。
723588÷11＝ 65780 ‧‧‧‧‧‧ 8
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第五讲：余数问题
班级：
学科教师：
调试好设备，准备好纸笔，全心投入学习吧！
＝ ＝ ＝ ＝ ＝
有趣的余数：
10 ÷3＝ 3‧‧‧‧‧‧ 1
＋
＋
7 ÷3＝ 2‧‧‧‧‧‧ 1
17 ÷3＝ 5‧‧‧‧‧‧ 2
导入
10 ÷3＝ 3‧‧‧‧‧‧ 1
╳
╳
8 ÷3＝ 2‧‧‧‧‧‧ 2
80 ÷3＝ 26‧‧‧‧‧‧ 2
5770÷11＝524 ‧‧‧‧‧‧ 6
8＋6＝14
14＞11
14÷11＝1 ‧‧‧‧‧‧ 3
所以（723588＋5770）÷11的余数是 3
723588÷11＝ 65780 ‧‧‧‧‧‧ 8
5770÷11＝ 524 ‧‧‧‧‧‧ 6
8×6＝24
24＞11
24÷11＝2 ‧‧‧‧‧‧ 2 所以723588×5770÷11的余数是 2
145的因数有：1、5、29、145
答：这个自然数是29。
例题4
有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数之和为25，那么
这三个余数中最小的数是多少？
除数在 被除数之和 与 余数之和 的差的因数中找
63＋90＋130＝283
283－25＝258
258的因数有：1、2、3、6、43、86、 126、258