线性代数一些证明题 1 题目设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。

知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解：因为A 2=A所以A 2－A =0所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0所以A 的特征值为1.常见错误设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x )=det(λx )=n λdet(x ) (错误在于向量取行列式)所以 有)det(A n =λ成立.又因为A 2=Adet(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ=±1.相关例题设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点①正交矩阵的定义：A T A=E②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E③矩阵运算规律④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T⑤det(A )=det(A T )⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A )解题过程∵A 是正交矩阵∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1∴det(E－A)=det((A T－E)A)=det(A T－E)det(A)=det(A T－E)∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－A T)∴det(A T－E)= det(E－A T)= det(－(A T－E))= (－1)n det(A T－E) ∵n为奇数∴(－1)n=－1∴det(A T－E)=0∴det(E－A)=0常见错误①误以为det(E－A)= det(E)－det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0②∵det(A)=1∴a·2a·…·n a=1(其中1a,2a,…,n a为A作初等变换变为上三角形1后对角线上的元素).∴det(E－A)=（1-a）（1-2a）…（1-n a）.1∵det(E-A)=det((A T-E)A)=det(A T-E)det(A)=det(A T-E)且det(A T-E)= （a-1）（2a-1）…（n a-1）.1∴（1-a）（1-2a）…（1-n a）=（1a-1）（2a-1）…（n a-1）1= (-1)n（1-a）（1-2a）…（1-n a）1∵n为奇数∴(－1)n=－1∴（1－a）（1－2a）…（1－n a）=01∴det(E －A )=0以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A ，再求行列式，这是错误的。

相关例题证明：若A 为正交矩阵，则det(A )=±1. 3 题目试就a,b 的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。

⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-++=-+3)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x （1）知识点 线性方程组解的结构解题过程解：B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-3 2b a 3 03 2 2a 21 1 1 1b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---3 2b a 3a 01 b a 01 1 11 122r r -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0 b a 0 0 1 b a 0 1 1 11 (1)当a —b ≠0,且a ≠0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。

其解为： ;11 ,1 ,0123ax a x x -===(2)当a-b=0，且a ≠0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。

其解可由132=-bx ax ，解得,132x ab a x +=，代入第一个方程1321=-+x x x 得到31111x a b a x ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；一般解为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-+-=任意）(111113333231x x x a x a b a x ax a b a a a x （3）当a=0，b 为任意数，此时增广矩阵可化为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0 b a 0 01 a 01 1 11b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1 0 0 01 b 0 01 1 11 可见，rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解， 常见错误233r r -在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。

如，当a ≠b 时，就说原方程有唯一解，没有指出a ≠0，当a=b 时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b ≠0，等等。

相关例题确定a,b 的值，使下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-++=-+3)2(3 3)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x（1） 有唯一解； （2） 无解；有无穷多解，并求出通解。

4 题目若123,,ααα线性无关，4112233k k k αααα=++，其中123,,k k k 全不为0. 证明234,,ααα线性无关. 知识点 向量线性相关解题过程证法一：（从定义出发）设存在常数123,,k k k '''，使得1223340k k k ααα'''++= 已知4112233k k k αααα=++，代入上式，得12233112233()0k k k k k k ααααα'''++++=化为： 131********()()0k k k k k k k k ααα'''''++++= 由题意知：123,,ααα线性无关131********k k k k k k k k ⎧'⎪⎪''∴+⎨⎪''+⎪⎩＝ ＝＝123,,0k k k 全不为1230k k k '''∴ 解得＝＝＝由定义，知234,,ααα线性无关 证毕证法二：（由初等列变换，秩相等）411223323423112233(,,)(,,)k k k k k k αααααααααααα=++−−−−−−−→++由3223322311(,,)c k c c k c k ααα--−−−→31/231(,,)c k ααα−−−→由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由123,,ααα线性无关，知231(,,)ααα的秩为3，所以234(,,)ααα秩也为3，推出234,,ααα线性无关证法三：（反证法） 假设234(,,)ααα线性相关.则存在不全为0的常数123,,k k k '''，使得1223340k k k ααα'''++=已知4112233k k k αααα=++，代入上式，得12233112233()0k k k k k k ααααα'''++++=化为： 131********()()0k k k k k k k k ααα'''''++++=123,,0k k k 全不为13123233 ,,0k k k k k k k k '''''∴++ 不全为（否则，由13123233 0k k k k k k k k '''''++＝＝＝得1230k k k '''＝＝＝） 即 123,,ααα线性相关, 与题目已知条件矛盾. 所以假设不成立, 即 234(,,)ααα线性无关. 5题目设121,,,n r ηηη-+是AX B =的解且线性无关，()R A r =，试证AX B =的任一解可表示为112211n r n r X k k k ηηα-+-+=+++，其中1211n r k k k -++++=知识点 基础解系 方程组解的结构解题过程证明121,,,n r AX B ηηη-+=是的解11211,,,0n r n r n r n r AX ηηηηηη-+-+--+∴---=是的解由11211121,,,,n r n r n r n r c c c c n r n r c c ηηηη-+-+--+----+-−−−−→()112111,,,n r n r n r n r n r ηηηηηηη-+-+--+-+---()因为 121,,,n r ηηη-+线性无关，所以 112111,,,,n r n r n r n r n r ηηηηηηη-+-+--+-+---线性无关， 11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---也线性无关，且11211(,,,)n r n r n r n r R n r ηηηηηη-+-+--+---=-所以 11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---是0AX =的基础解系因为0AX =的任一解X *可以表示为：1112211()()()n r n r n r n r n r X k k k ηηηηηη*-+-+---+'''=-+-++-AX B =的任一解X 可以表示为：X X η**=+ ①其中η*是AX B =的一个特解扩展①式，取1n r ηη*-+=，得11122111()()()n r n r n r n r n r n r X k k k ηηηηηηη-+-+---+-+'''=-+-++-+化简得1122121(1)n r n r n r n r X k k k k k k ηηηη----+''''''=++++----令1121n r n r k k k k -+-'''=----，1122,,,n r n r k k k k k k --'''===则AX B =的解可以表示为112211n r n r X k k k ηηη-+-+=+++且1211212(1)1n r n r n r k k k k k k k k k -+--''''''+++=++++----=命题得证另外取(1)i i n r ηη*=≤≤-时1112211()()()n r n r n r n r n r i X k k k ηηηηηηη-+-+---+'''=-+-++-+化简得11221111(1)i i i i i i n r n r X k k k k k k ηηηηηη--++--''''''=+++++++++121()n r n r k k k η--+'''----此时令11,,,i i k k k --''===112n r n r k k k k -+-'''=----则AX B =的解可以表示为112211n r n r X k k k ηηη-+-+=+++且121n r k k k -++++121112(1)()1i i i n r n r k k k k k k k k k -+--'''''''''=+++++++++----=此时命题也成立常见错误不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解. 6 题目设21λλ、是矩阵A 的两个不同的特征值，21x x 、分别属于21λλ、的特征向量，证明21x x +不是矩阵A 的特征向量. 知识点特征值 特征向量解题过程用反证法.设 21x x +是A 的对应λ的特征向量，则有212121)()(x x x x x x A λλλ+=+=+ (1)已知 111x Ax λ=，222x Ax λ=所以 22112121)(x x Ax Ax x x A λλ+=+=+ (2)由(1)(2)知 221121x x x x λλλλ+=+0)()(2211=-+-x x λλλλ (3)因为21x x 、线性无关，所以021=-=-λλλλ，21λλλ==与已知矛盾.常见错误由(1)(2)直接推出21λλλ==，只从形式上来看有这个结论，没有利用不同特征值所对应的特征向量是线性无关的性质， 因为有了这个性质才能推出 (3)的系数为0. 这在证明中不够严密.。