1、试题序号：3212、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容：设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且2A E =，证明：()()R A E R A E n ++-=. 9、答案内容：证明:2220()()0,()()()().().()().A E A E A E A E R A E R A E R A E R E A n R A E R E A R A E E A n R A E R A E n =⇒-=⇒+-=++-=++-≤≥++-=∴++-=由矩阵秩的性质则有同时,有(+)+(-)10、评分细则：由题设推出()()0A E A E +-=得2分;由矩阵秩的性质推出()()R A E R A E n ++-≤得2分;推出()()R A E R A E n ++-≥得2分;因而推出()()R A E R A E n ++-=得2分.----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点： 第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容：设A 为一个n 阶正交矩阵，且1A =-.证明：1λ=-是A 的特征值. 9、答案内容： 证明：,.1,(1)()()0(1)0.1.T T T T TTTT A A A E A A E A E A A A E A A E A A E A E AE A E A A E A E A λ∴==-∴--=+=+=+=+=-+=-+=-+=-+∴+=⇒--=∴=-是正交矩阵又是的特征值10、评分细则：推出()1T A E A AA --=+(2分)T E A =-+(2分)E A =-+(2分) 推出()10A E --=并说明1λ=-是A 的特征值(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：已知,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭也为正定矩阵. 9、答案内容：()12112212,00.000000000.00TT T T T A B A B A A B B A B X A A f X X X B B X X X f AX BX A B ∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∀≠⇒ ⎪⎝⎭>∴⎛⎫⎪⎝⎭T T 12TT 12证明是正定矩阵，，是对称矩阵.A00B 是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X 中至少有一个不为0,则有=X +X 此二次型为正定二次型，则为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是对称矩阵(2分);令()112200TT X A f X X X B ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分);由()120TT X X ≠推出12,X X 中至少有一个不为零(2分).则有11220T T f X AX X BX =+>,推出f 1122T TX AX X BX =+为正定二次型(2分).因而有00A B ⎛⎫⎪⎝⎭为正定矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3242、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：设,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：A B +也为正定矩阵. 9、答案内容：证明：,.()().0,.,,.0.()T T T T T T TTT T T T T A B A A B B A B A B A B A B f x A B x x f x Ax x Bx A B x Ax x Bx f x Ax x Bx f x A B x ∴+=+=+⇒+=+∀≠=+∴=+>∴=+都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵是正定二次型则有为正定二次型.则A+B 也为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出A B +为对称矩阵(2分);令()Tf x A B x =+(2分);00T T x f x Ax x Bx ∀≠⇒=+>(2分);推出()Tf x A B x =+为正定二次型(2分);因而有A B +为正定矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：325 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：向量组的线性关系 8、试题内容：若向量β可由向量组12,,,r ααα线性表示，但β不能由121,,,r ααα-线性表示，试证：r α可由121,,,,r αααβ-线性表示.9、答案内容： 证明：2.0,.1.,.r r r r r r r r r βααααααββαααβαααααααβααααβ----∴==∴≠⇒=----∴１２１２r １１２２r １１２２r-１１１２１１２r-１r １１r rr r１２１可以由，，线性表示，存在一组数Ｋ，Ｋ，Ｋ,使得Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ＝若Ｋ则Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ这与不能由，，线性表示矛盾.ＫＫＫＫ０ＫＫＫＫ可由，，线性表示10、评分细则：由题设中条件令1122r r k k k αααβ+++=(2分);假设0r k =推出β不能由121,,,r ααα-线性表示矛盾(2分);0r r k α∴≠⇒可以由121,,,r ααα-,β线性表示(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：326 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容： 如果向量组12,,,s ααα线性无关，试证：向量组11212,,,s αααααα++++线性无关.9、答案内容： 证明：()()()()()(),..111011.01111011.001B R R A S αααααααααααααααααααααααα=++++∴==⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12S 11212S 12S 12S 11212S 12S 令A= ,,线性无关，令C=则有B=AC ，显然C 可逆.10、评分细则：令()12s A ααα=,()11212s B αααααα=+++(1分);由题设条件推出()R A s =(1分);令1111011001C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭推出B AC =(2分);推出()()1A BC RB R A s -=⇒≥=(2分)又()()1121,,s R B s R B s ααααα≤⇒=⇒++线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3272、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：奇异矩阵8、试题内容：已知矩阵22,A E B E ==，且0A B +=证明：A B +为奇异矩阵. 9、答案内容： 证明：22221, 1.01, 1.().()..0,A E A B E B A B A B A A B A B AB B A A A B B B A A A B B A B A B A B =⇒=±=⇒=±+=⇒=±=+=+=+∴+=+∴+=+∴-+=+又若则而则为奇异矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出1,1A B =±=(1分);推出()A A B B B A +=+(3分);推出A A B B B A +=+(2分);推出0A B A B +=⇒+为奇异矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：328 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设n 维基本单位向量组12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表示，证明：12,,,n ααα线性无关.9、答案内容： 证明：()()()()()()121,.,,,,..,,,n aB AB R R n R A n R A n αααεεεεεεαααααα=∴=⇒≥=≤∴=⇒12n n n 2n 12n n 12n 令A=且E ,,可以由线性表示.存在一个n 阶方阵使得E A E 同时线性无关.10、评分细则：令()()1212,n n A E αααεεε==(2分);由题设条件推出存在一个n 阶矩阵B (2分);使得()AB E R A n =⇒=(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：329 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容： 设12,,,m ααα线性无关，1β可由12,,,m ααα线性表示，2β不可由12,,,m ααα线性表示，证明：1212,,,,m αααλββ+线性无关（其中λ为常数）.9、答案内容： 证明:11122m m k k k βααα=++，()()1212122m m αααλββαααβ∴+.假设()122MR m αααβ≤,则有122,,,,m αααβ线性相关,因而与2β不能由12,,,m ααα线性表示矛盾.()122m R m αααβ∴>,()12121m R m αααλββ∴+=+1212,,,,m αααλββ∴+线性无关.10、评分细则：由题设中条件推出()()1212122m m αααλββαααβ+(2分);假设()122m R m αααβ≤由题设推出2β能由12,,m ααα线性表示,与题设矛盾(2分);()122m R m αααβ∴>推出()12121m R m αααλββ+=+(3分);推出1212,,,m αααλββ+线性无关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：330 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组与矩阵的秩 8、试题内容：设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，n m <,若AB E =，证明B 的列向量组线性无关. 9、答案内容：证明:A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有()()R B R E n ≥=.又(),.n m R B n <∴≤()R B n ∴=B ∴ 的列向量组线性无关.10、评分细则：由题设推出()()R B R E n ≥=(2分);又有题设中()n m R B n <⇒≤(2分);()R B n ∴=(2分);所以B 的列向量组线性无关(2分). ----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3312、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容： 设121,,,n ααα-为1n -个线性无关的n 维列向量，12,ηη与121,,,n ααα-均正交，证明：12,ηη线性相关.9、答案内容：证明:12,ηη分别与121,,,n ααα-均正交,()1121200T n T ηαααη-⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()121n A ααα-=,12T T B ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()011BA R A n R B =⇒=-⇒≤12,ηη∴线性相关.10、评分细则：令()()12112,Tn A B αααηη-==(1分);由题设中条件推得()()0BA R A R B n =⇒+≤(2分);()()11R A n R B ∴=-⇒≤(1分);若()1200,0R B ηη=⇒==(1分);12,ηη∴线性相关(1分);若()()12112R B R ηη=⇒=<(1分),所以12,ηη线性相关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：332 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交向量组8、试题内容：已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，12,,,n ααα为n 维正交单位向量组，证明：12,,,n A A A ααα也是n 维正交单位向量组.9、答案内容：证明:A 是阶正交矩阵,则有12,,,n ααα是维正交向量组()()0,0,0T i i j TT T T i j i j i i jA A A A ααααααααα∴≠=≠===12,,n A A A ααα∴是正交向量组.10、评分细则：由题设中条件推出0,0,T i i j i j ααα≠=≠(2分);()()0jT T T T Ti j i j i j i A A A A E αααααααα====(2分);0i α≠且A 可逆,推得0i A α≠(2分);推得12,,,n A A A ααα是正交向量组(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：333 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解 8、试题内容： 设12,,,s ααα是0Ax =的一个基础解系，β不是0Ax =的解，证明：12,,,,s ββαβαβα+++线性无关.9、答案内容： 证明:假设()121s R s βααα<+.这与β不是0Ax =的解矛盾()121s R s βααα∴=+ ()11s R s ββαβα++=+即1,,s ββαβα++线性无关.10、评分细则：由题设推出()()11s s R R ββαβαβαα++=(2分);假设()11s R s βαα<+,由题设中条件推出β可以由12,,,s ααα线性表示,与β不是0Ax =的解矛盾(2分);()11s R s ββαβα∴++=+(2分);1,,,s ββαβα∴++线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：334 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：设A 为n 阶矩阵，若0Ax =只有零解，证明：方程组0kA x =也只有零解，其中k 为正整数.9、答案内容： 证明:0Ax =只有零解⇒()R A n =A 为n 阶矩阵,A ∴可逆0.A ⇔≠则kkA A =0≠ 即kA 为可逆矩阵()0k k R A n A x ∴=⇒=只有零解.10、评分细则：由题设推出()R A n A =⇒可逆(3分);推出0kkA A =≠(2分);推得()0k k R A n A x =⇒=只有零解(3分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：335 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解8、试题内容：设A 是m n ⨯矩阵，D 是m n ⨯矩阵，B 为m m ⨯矩阵，求证：若B 可逆且BA 的行向量的转置都是0Dx =的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容：证明：设A 的行向量组为12,,,m ααα（I ） 设B 的行向量组为12,,,m βββ（II ）则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组,BA C B =可逆1A B C -⇒=令1112121222112m m m m mm k k k k k k B k k k -⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭，则有1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示向量组（II ）是0Dx =的解 ∴向量组（I ）也是0Dx =的解 10、评分细则：令A 的行向量组12,,,m ααα(I),C 的行向量组为12,,,m βββ(II)(1分);1BA C A B C -=⇒=(2分);推得1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11121212221122m m m m m k k k k k k B k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(2分)所以(I)可以由(II)线性表示(2分);由(II)是0Dx =的解推出(I)也是0Dx =的解(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：336 2、题型：证明题3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容：设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为r ，12,,,n r ηηη-是其导出组的一个基础解系，η是Ax b =的一个解，证明：12,,,,n r ηηηη-线性无关.9、答案内容： 证明：假设12,,,,n r ηηηη-线性相关，12,,,n r ηηη-是0Ax =的基础解系， 12,,,n r ηηη-∴是线性无关的.由以上可得η可以由12,,,n r ηηη-线性表示.则η是0Ax =的解,与η是Ax b =的解矛盾.∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη-线性无关.10、评分细则：假设12,,,n r ηηηη-线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη-线性表示(3分);所以η是0Ax =的解与η是Ax b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη-线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：337 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容：设*A 为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证*A 及1A -均为正定的. 9、答案内容： 证明：∵A 为正定矩阵，∴A 的特征值全为正数。