2 −1 1 0 解 = B (= A | b) 3 1 7 0
4 −3 44 −4 1 0 1 0 3 1 −1 44 −3 r 0 1 −2 0 −8 . → 1 0 44 1 0 0 0 1 6 7 −3 44 3 0 0 0 0 0
综上可得: (1)当 a (2)当 a (3)当 = a
≠ 1 时,方程组有惟一解;
= 1, b = −1 时,方程组有无穷多解; 1, b ≠ −1 时,方程组无解.
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方法二:方程组的系数行列式 (1)当
A = (a − 1) 2 .
A = (a − 1) 2 ⇔ a ≠ 1 时,方程组有惟一解;
ϕ(A = = Pϕ ( B ) P −1 . ) am Am + + a1 A + a0 E
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2 0 0 2 0 0 相似: 7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵 A = 0 0 1 与 B = 0 y 0 0 1 x 0 0 −1
求
A 及 A5 .
【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.
解
1 0 0 . AP = PB ⇒ A = PBP = 2 0 0 B = P PBP = A.
【注意】若 多项式
A = PBP −1 ,则 Ak = PB k P −1 ;一般地,设 ϕ ( x= ) am x m + + a1 x + a0 ,则方阵 A 的
−3 −1 2 的实特征值及对应的特征向量. 5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵 = A 0 −1 4 −1 0 1
【考点】求矩阵的特征值及特征向量. 解
0 得其对应的特 A − λE = (1 − λ )(λ 2 + 4λ + 5) , 得 A 的实特征值 λ = 1 . 解 ( A − E ) x =
0 1 0 0 0 0 = 1 + (−1) s −1 . 1 1
A= 2 ≠ 0 ,方程组只有零解,则向量组 β1 , β 2 , , β s 线性无关; A = 0 ,方程组有非零解,则向量组 β1 , β 2 , , β s 线性相关.
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 ( β1 , β 2 , , β s ) (α = = 1 1 0 0 (α1 , α 2 , , α s ) K s×s , 1 , α 2 , , α s ) 0 0 0 0 1 1
= 4 ⇔ a ≠ 1 时,方程组有惟一解;
1 0 r = B [ A b ] → 0 0 0 1 . b + 1 0
= 1 时,方程组无解或无穷多解,此时
1 1 0 0
1 2 0 0
1 2 0 0
①当 b
= −1 时, R( A)= R( B)= 2 < 4 ,方程组有无穷多解;此时 1 0 r = B [ A b ] → 0 0 0 −1 −1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 −1 1 , 0 0
0 x1 + xs = x + x = 1 2 0 ,其系数行列式 因为 α1 , α 2 , , α s 线性无关,则 0 xs −1 + xs =
1 0 0 1 1 0 A= 0 1 1 0 0 0
(1)当 s 为奇数, (2)当 s 为偶数, 方法二:显然
1 p1 = 0 , p2 = 0
令可逆矩阵 = P
[ p1
1 0 0 ,则 P −1 AP = B . p= p3 ] 2 0 1 −1 0 1 1
8.(1988—Ⅳ) 设 3 阶方阵
A 的伴随矩阵为 A* ,且 A =
1 −1 * ,求 (3 A) − 2 A 2
− x3 + 3 x1 = 由 R ( A)= R ( B )= 3 < 4 ,得方程组有无穷多解.方程组的解 = x2 2 x3 − 8 ,令 x3 = k 得方程组的通解 x = 6 3
x1 x 2 = x3 x4
3 −1 −8 + k 2 , k 为任意常数. 0 1 6 0
.
【考点】矩阵运算的性质. 解
1 −1 2 A − 2 A A−1 = − A−1 ,所以 (3 A) −1 − 2 A* = 3 3
2 2 8 1 16 (3 A) −1 − 2 A* = (− )3 A−1 = − A−1 = − ⋅ = − . 3 3 27 A 27
或
1 −1 1 A* 4 (3 A) −1 − 2 A* = A − 2 A* = ⋅ − 2 A* = − A* ,则 3 3 A 3
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4 4 64 16 3−1 (3 A) −1 − 2 A* = − A* = (− )3 A* = − ⋅A = − . 3 3 27 27
【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:
1 −1 A* * −1 ;A (kA) A ,k ≠ 0 = = = ;A k A
(λ − λ1 ) x1 + (λ − λ2 ) x2 = 0.
因为 λ1
0 λ − λ1 = ≠ λ2 ,所以 x1 , x2 线性无关,则 ⇒ λ1 = λ2 .矛盾. 0 λ − λ2 =
【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.
4 2 3 = A + 2 B ,其中 A = 1 1 0 ,求矩阵 B . 3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB − 1 2 3
讨论向量组 β 1 , β 2 , , β s 的线性相关性. 【考点】向量组的线性相关性的判别方法. 解 方法一:设 x1β1 +
x2 β 2 + + xs β s = 0 ,即
( x1 + xs )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + + ( xs −1 + xs )α s = 0.
0 征向量 x = k 2 ,其中 k 为不为零的任意常数. 1
6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知
AP = PB ,其中
1 0 0 2 −1 0 , 2 1 1
1 0 0 ,P = B 0 0 0 = 0 0 −1
【考点】解矩阵方程. 解 由B
= A + 2 B ⇒ B = ( A − 2 E ) −1 A
3 −8 −6 2 −9 −6 . − 2 12 9
1 −4 −3 4 2 3 = = 1 −5 −3 1 1 0 −1 6 4 −1 2 3
4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组
−4, 2 x1 − x2 + 4 x3 − 3 x4 = x + x − x = 1 3 4 −3, 1, 3 x1 + x2 + x3 = 3. 7 x1 + 7 x3 − 3 x4 =
【考点】求解非齐次线性方程组.
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【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方 法二失效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一. (2)分别求出
A 的对应于特征值 λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = −1 的线性无关的特征向量为
0 1 , p = 3 1 0 −1 . 1
因为 α1 , α 2 , , α s 线性无关,则 R ( β1 , β 2 , , β s ) ≤ (1)
min{R(α1 , α 2 , , α s ), R( K )} = R( K )
,则向量组
R( K ) = s ⇔ K = 1 + (−1) s −1 ≠ 0 ⇒ s 为 奇 数 时 , R( β1 , β 2 , , β s ) = s
1 1 −1 −2 −2 1 方程组的通解为 x = k1 + k + , k , k 为任意常数; 1 20 0 1 2 0 1 0
②当 b , R ( A) 2, = = R( B) 3 ,方程组无解. ≠ −1 时
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三、计算题与证明题
1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问 a, b 为何值时,线性方程组
0, x1 + x2 + x3 + x4 = x + 2x + 2x = 1, 2 3 4 b, − x2 + (a − 3) x3 − 2 x4 = −1 3 x1 + 2 x2 + x3 + ax4 =
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β1 , β 2 ,, β s 线性无关;
(2)
R( K ) < s ⇔ K = 1 + (−1) s −1 = 0 ⇒ s 为 偶 数 时 , R( β1 , β 2 , , β s ) < s , 则 向 量 组
A 为 n 阶矩阵, λ1 和 λ2 是 A 的两个不同的特征值; x1 , x2 是分别属于 λ1 和
λ2 的特征向量,试证明 x1 + x2 不是 A 的特征向量.
【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义. 解 反证法:假设 x1 +
x2 是 A 的特征向量,则存在数 λ ,使得 A( x1 + x2 ) = λ ( x1 + x2 ) ,则