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2012年浙江省高考数学试卷(理科)附送答案

2012年浙江省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则A∩(∁R B)=()A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)2.(5分)已知i是虚数单位,则=()A.1﹣2i B.2﹣i C.2+i D.1+2i3.(5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(5分)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()A.B.C.D.5.(5分)设,是两个非零向量.则下列命题为真命题的是()A.若|+|=||﹣||,则⊥B.若⊥,则|+|=||﹣||C.若|+|=||﹣||,则存在实数λ,使得=λD.若存在实数λ,使得=λ,则|+|=||﹣||6.(5分)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种7.(5分)设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是()A.若d<0,则数列{S n}有最大项B.若数列{S n}有最大项,则d<0C.若对任意n∈N*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列D.若数列{S n}是递增数列,则对任意n∈N*,均有S n>08.(5分)如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的在左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ 的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是()A.B.C.D.9.(5分)设a>0,b>0,下列命题中正确的是()A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a<bC.若2a﹣2a=2b﹣3b,则a>b D.若2a﹣2a=2b﹣3b,则a<b10.(5分)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于cm3.12.(4分)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是.13.(4分)设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=.14.(4分)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…a5为实数,则a3=.15.(4分)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则•=.16.(4分)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.17.(4分)设a∈R,若x>0时均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,则a=.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=C.(1)求tanC的值;(2)若a=,求△ABC的面积.19.(14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望E(X).20.(15分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值.21.(15分)如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求△APB面积取最大值时直线l的方程.22.(14分)已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3﹣2bx﹣a+b.(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,(i)函数f(x)的最大值为|2a﹣b|+a;(ii)f(x)+|2a﹣b|+a≥0;(Ⅱ)若﹣1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.2012年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2012•浙江)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则A∩(∁R B)=()A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)【分析】由题意,可先解一元二次不等式,化简集合B,再求出B的补集,再由交的运算规则解出A∩(∁R B)即可得出正确选项【解答】解:由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故∁R B={x|x<﹣1或x >3},又集合A={x|1<x<4},∴A∩(∁R B)=(3,4)故选B2.(5分)(2012•浙江)已知i是虚数单位,则=()A.1﹣2i B.2﹣i C.2+i D.1+2i【分析】由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以1+i,再由进行计算即可得到答案.【解答】解:故选D3.(5分)(2012•浙江)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值,而后运用充分必要条件的知识来解决即可.【解答】解:∵当a=1时,直线l1:x+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0,两条直线的斜率都是﹣,截距不相等,得到两条直线平行,故前者是后者的充分条件,∵当两条直线平行时,得到,解得a=﹣2,a=1,∴后者不能推出前者,∴前者是后者的充分不必要条件.故选A.4.(5分)(2012•浙江)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()A.B.C.D.【分析】首先根据函数图象变换的公式,可得最终得到的图象对应的解析式为:y=cos(x+1),然后将曲线y=cos(x+1)的图象和余弦曲线y=cosx进行对照,可得正确答案.【解答】解:将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象对应的解析式为:y=cosx+1,再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象对应的解析式为:y=cos(x+1),∵曲线y=cos(x+1)由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得,∴曲线y=cos(x+1)经过点(,0)和(,0),且在区间(,)上函数值小于0由此可得,A选项符合题意.故选A5.(5分)(2012•浙江)设,是两个非零向量.则下列命题为真命题的是()A.若|+|=||﹣||,则⊥B.若⊥,则|+|=||﹣||C.若|+|=||﹣||,则存在实数λ,使得=λD.若存在实数λ,使得=λ,则|+|=||﹣||【分析】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可.【解答】解:对于A,若|+|=||﹣||,则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||,得•=﹣||||≠0,与不垂直,所以A不正确;对于B,由A解析可知,|+|≠||﹣||,所以B不正确;对于C,若|+|=||﹣||,则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||,得•=﹣||||,则cosθ=﹣1,则与反向,因此存在实数λ,使得=λ,所以C正确.对于D,若存在实数λ,则•=λ||2,﹣||||=λ||2,由于λ不能等于0,因此•≠﹣||||,则|+|≠||﹣||,所以D不正确.故选C.6.(5分)(2012•浙江)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种【分析】本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,当取得4个偶数时,当取得4个奇数时,当取得2奇2偶时,分别用组合数表示出各种情况的结果,再根据分类加法原理得到不同的取法.【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,当取得4个偶数时,有=1种结果,当取得4个奇数时,有=5种结果,当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果,故选D7.(5分)(2012•浙江)设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是()A.若d<0,则数列{S n}有最大项B.若数列{S n}有最大项,则d<0C.若对任意n∈N*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列D.若数列{S n}是递增数列,则对任意n∈N*,均有S n>0【分析】由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+(a1+)n,可看作关于n的二次函数,由二次函数的性质逐个选项验证可得.【解答】解:由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+(a1﹣)n,选项A,若d<0,由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项,故正确;选项B,若数列{S n}有最大项,则对应抛物线开口向下,则有d<0,故正确;选项C,若对任意n∈N*,均有S n>0,对应抛物线开口向上,d>0,可得数列{S n}是递增数列,故正确;选项D,若数列{S n}是递增数列,则对应抛物线开口向上,但不一定有任意n∈N*,均有S n>0,故错误.故选D8.(5分)(2012•浙江)如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的在左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q 两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是()A.B.C.D.【分析】确定PQ,MN的斜率,求出直线PQ与渐近线的交点的坐标,得到MN 的方程,从而可得M的横坐标,利用|MF2|=|F1F2|,即可求得C的离心率.【解答】解:线段PQ的垂直平分线MN,|OB|=b,|O F1|=c.∴k PQ=,k MN=﹣.直线PQ为:y=(x+c),两条渐近线为:y=x.由,得Q();由得P.∴直线MN为,令y=0得:x M=.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=x M=,∴3a2=2c2解之得:,即e=.故选B.9.(5分)(2012•浙江)设a>0,b>0,下列命题中正确的是()A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a<bC.若2a﹣2a=2b﹣3b,则a>b D.若2a﹣2a=2b﹣3b,则a<b【分析】对于2a+2a=2b+3b,若a≤b成立,经分析可排除B;对于2a﹣2a=2b﹣3b,若a≥b成立,经分析可排除C,D,从而可得答案.【解答】解:∵a≤b时,2a+2a≤2b+2b<2b+3b,∴若2a+2a=2b+3b,则a>b,故A正确,B错误;对于2a﹣2a=2b﹣3b,若a≥b成立,则必有2a≥2b,故必有2a≥3b,即有a≥b,而不是a>b排除C,也不是a<b,排除D.故选A.10.(5分)(2012•浙江)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【分析】先根据翻折前后的变量和不变量,计算几何体中的相关边长,再分别筛选四个选项,若A成立,则需BD⊥EC,这与已知矛盾;若C成立,则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上,可证明位于BC中点位置,故B成立;若C成立,则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的;D显然错误【解答】解:如图,AE⊥BD,CF⊥BD,依题意,AB=1,BC=,AE=CF=,BE=EF=FD=,A,若存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,则∵BD⊥AE,∴BD⊥平面AEC,从而BD⊥EC,这与已知矛盾,排除A;B,若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,则CD⊥平面ABC,平面ABC ⊥平面BCD取BC中点M,连接ME,则ME⊥BD,∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角,此角显然存在,即当A在底面上的射影位于BC的中点时,直线AB与直线CD垂直,故B正确;C,若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC⊥平面ACD,从而平面ACD⊥平面BCD,即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的,排除CD,由上所述,可排除D故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)(2012•浙江)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于1cm3.【分析】由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为1和3的直角三角形,三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是2,这是三棱锥的高,根据三棱锥的体积公式得到结果.【解答】解:由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为1cm和3cm 的直角三角形,面积是cm2,三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是2cm,这是三棱锥的高,∴三棱锥的体积是cm3,故答案为:1.12.(4分)(2012•浙江)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是.【分析】通过循环框图,计算循环变量的值,当i=6时结束循环,输出结果即可.【解答】解:循环前,T=1,i=2,不满足判断框的条件,第1次循环,T=,i=3,不满足判断框的条件,第2次循环,T=,i=4,不满足判断框的条件,第3次循环,T=,i=5,不满足判断框的条件,第4次循环,T=,i=6,满足判断框的条件,退出循环,输出结果.故答案为:.13.(4分)(2012•浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=.【分析】经观察,S4﹣S2=a3+a4=3(a4﹣a2),从而得到q+q2=3(q2﹣1),而q>0,从而可得答案.【解答】解:∵等比数列{a n}中,S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4﹣S2=a3+a4=3(a4﹣a2),∴a2(q+q2)=3a2(q2﹣1),又a2≠0,∴2q2﹣q﹣3=0,又q>0,∴q=.故答案为:.14.(4分)(2012•浙江)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…a5为实数,则a3=10.【分析】将x5转化[(x+1)﹣1]5,然后利用二项式定理进行展开,使之与f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5进行比较,可得所求.【解答】解:f(x)=x5=[(x+1)﹣1]5=(x+1)5+(x+1)4(﹣1)+(x+1)3(﹣1)2+(x+1)2(﹣1)3+(x+1)1(﹣1)4+(﹣1)5而f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,∴a3=(﹣1)2=10故答案为:1015.(4分)(2012•浙江)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则•=﹣16.【分析】设∠AMB=θ,则∠AMC=π﹣θ,再由=(﹣)•(﹣)以及两个向量的数量积的定义求出结果.【解答】解:设∠AMB=θ,则∠AMC=π﹣θ.又=﹣,=﹣,∴=(﹣)•(﹣)=•﹣•﹣•+,=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos(π﹣θ)+9=﹣16,故答案为﹣16.16.(4分)(2012•浙江)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.【分析】先根据定义求出曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,然后根据曲线C1:y=x2+a的切线与直线y=x平行时,该切点到直线的距离最近建立等式关系,解之即可.【解答】解:圆x2+(y+4)2=2的圆心为(0,﹣4),半径为,圆心到直线y=x的距离为=2,∴曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为2﹣=.则曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于,令y′=2x=1解得x=,故切点为(,+a),切线方程为y﹣(+a)=x﹣即x﹣y﹣+a=0,由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为,即解得a=或﹣.当a=﹣时直线y=x与曲线C1:y=x2+a相交,故不符合题意,舍去.故答案为:.17.(4分)(2012•浙江)设a∈R,若x>0时均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,则a=.【分析】分类讨论,(1)a=1;(2)a≠1,在x>0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间,在各自的区间内恒正或恒负,即可得到结论.【解答】解:(1)a=1时,代入题中不等式明显不成立.(2)a≠1,构造函数y1=(a﹣1)x﹣1,y2=x 2﹣ax﹣1,它们都过定点P(0,﹣1).考查函数y1=(a﹣1)x﹣1:令y=0,得M(,0),∴a>1;考查函数y2=x2﹣ax﹣1,∵x>0时均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,∴y2=x2﹣ax﹣1过点M(,0),代入得:,解之得:a=,或a=0(舍去).故答案为:.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)(2012•浙江)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=C.(1)求tanC的值;(2)若a=,求△ABC的面积.【分析】(1)由A为三角形的内角,及cosA的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣(A+C),利用诱导公式得到sinB=sin(A+C),再利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值;(2)由tanC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值,再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,将sinC的值代入sinB=cosC中,即可求出sinB的值,由a,sinA及sinC的值,利用正弦定理求出c的值,最后由a,c及sinB的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.【解答】解:(1)∵A为三角形的内角,cosA=,∴sinA==,又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC,整理得:cosC=sinC,则tanC=;(2)由tanC=得:cosC====,∴sinC==,∴sinB=cosC=,∵a=,∴由正弦定理=得:c===,=acsinB=×××=.则S△ABC19.(14分)(2012•浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望E(X).【分析】(1)X的可能取值有:3,4,5,6,求出相应的概率可得所求X的分布列;(2)利用X的数学期望公式,即可得到结论.【解答】解:(1)X的可能取值有:3,4,5,6.P(X=3)=;P(X=4)=;P(X=5)=;P(X=6)=.故所求X的分布列为X3456P(2)所求X的数学期望E(X)=3×+4×+5×+6×=20.(15分)(2012•浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值.【分析】(1)连接BD,利用三角形的中位线的性质,证明MN∥BD,再利用线面平行的判定定理,可知MN∥平面ABCD;(2)方法一:连接AC交BD于O,以O为原点,OC,OD所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系,求出平面AMN的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值;方法二:证明∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角,在△AED中,求得AE=,QE=,AQ=2,再利用余弦定理,即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值.【解答】(1)证明:连接BD.∵M,N分别为PB,PD的中点,∴在△PBD中,MN∥BD.又MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD∴MN∥平面ABCD;(2)方法一:连接AC交BD于O,以O为原点,OC,OD所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=,BD=∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC在直角△PAC中,,AQ⊥PC得QC=2,PQ=4,由此知各点坐标如下A(﹣,0,0),B(0,﹣3,0),C(,0,0),D(0,3,0),P(),M(),N()Q()设=(x,y,z)为平面AMN的法向量,则.∴,取z=﹣1,,同理平面QMN的法向量为∴=∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为.方法二:在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA=,BD=∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD,∴PB=PC=PD,∴△PBC≌△PDC 而M,N分别是PB,PD的中点,∴MQ=NQ,且AM=PB==AN取MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A ﹣MN﹣Q的平面角由,AM=AN=3,MN=3可得AE=在直角△PAC中,AQ⊥PC得QC=2,PQ=4,AQ=2在△PBC中,cos∠BPC=,∴MQ=在等腰△MQN中,MQ=NQ=.MN=3,∴QE=在△AED中,AE=,QE=,AQ=2,∴cos∠AEQ=∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为.21.(15分)(2012•浙江)如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A,B 两点,且线段AB被直线OP平分.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求△APB面积取最大值时直线l的方程.【分析】(Ⅰ)由题意,根据离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,建立方程,即可求得椭圆C的方程;(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M,当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,故设AB的方程为y=kx+m(m≠0)由,消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M,根据M在直线OP 上,可求|AB|,P到直线AB的距离,即可求得△APB面积,从而问题得解.【解答】解:(Ⅰ)由题意,解得:.∴所求椭圆C的方程为:.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,故设AB的方程为y=kx+m(m≠0)由,消元可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0①∴,∴线段AB的中点M∵M在直线OP上,∴∴k=﹣故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0,又直线与椭圆相交,∴△>0,x1+x2=m,∴|AB|=P到直线AB的距离d=∴△APB面积S=(m∈(﹣2,0)令u(m)=(12﹣m2)(m﹣4)2,则∴m=1﹣,u(m)取到最大值∴m=1﹣时,S取到最大值综上,所求直线的方程为:22.(14分)(2012•浙江)已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3﹣2bx﹣a+b.(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,(i)函数f(x)的最大值为|2a﹣b|+a;(ii)f(x)+|2a﹣b|+a≥0;(Ⅱ)若﹣1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.【分析】(Ⅰ)(ⅰ)求导函数,再分类讨论:当b≤0时,f′(x)>0在0≤x≤1上恒成立,此时最大值为:f(1)=|2a﹣b|﹢a;当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,此时最大值为:f(x)max=max{f(0),f(1)}=|2a﹣b|﹢a,由此可得结论;(ⅱ)利用分析法,要证f(x)+|2a﹣b|+a≥0,即证g(x)=﹣f (x)≤|2a﹣b|﹢a.亦即证g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a ﹣b|﹢a.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a,且函数在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a﹣b|﹢a)要大.根据﹣1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,可得|2a﹣b|﹢a≤1,从而利用线性规划知识,可求a+b的取值范围.【解答】(Ⅰ)证明:(ⅰ)f′(x)=12a(x2﹣)当b≤0时,f′(x)>0,在0≤x≤1上恒成立,此时最大值为:f(1)=|2a﹣b|﹢a;当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,f'(x)在区间[0,1]先负后可能正,f(x)图象在[0,1]区间内是凹下去的,所以最大值正好取在区间的端点,此时最大值为:f(x)max=max{f(0),f(1)}=|2a﹣b|﹢a;综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a;(ⅱ)要证f(x)+|2a﹣b|+a≥0,即证g(x)=﹣f(x)≤|2a﹣b|﹢a.亦即证g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a﹣b|﹢a,∵g(x)=﹣4ax3+2bx+a﹣b,∴令g′(x)=﹣12ax2+2b=0,当b≤0时,;g′(x)<0在0≤x≤1上恒成立,此时g(x)的最大值为:g(0)=a﹣b<3a﹣b=|2a﹣b|﹢a;当b>0时,g′(x)在0≤x≤1上的正负性不能判断,∴g(x)max=max{g(),g (1)}={}=∴g(x)max≤|2a﹣b|﹢a;综上所述:函数g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a﹣b|﹢a.即f(x)+|2a﹣b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a,且函数在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a﹣b|﹢a)要大.∵﹣1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,∴|2a﹣b|﹢a≤1.取b为纵轴,a为横轴,则可行域为:或,目标函数为z=a+b.作图如右:由图易得:a+b的取值范围为(﹣1,3]。

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