《复变函数与积分变换》——高教出版社 《复变函数与积分变换》——上交大出版社 《复变函数》——高教出版社《复变函数》——西交大高等数学教研室编例：Z=—1+√3i解：r=2 argZ=arctan √3−1+π=23πZ 的三角表示为Z=2(cos 23π+isin 23π)Z 的指数表示为Z=2e i 23π例：Z=—sinπ3—icos π3解：化简：Z=—√32—i 12 r=1 argZ=—56π （θ=—56π+2kπ） 例：Z=1+cos θ+isinθ （—π<θ<π） 解：|Z |=√(1+cosθ)2+sinθ2=√2+2cosθ=√2·√1+cosθ=2sin θ2 （sinθ22=1+cosθ2）例：1、|Z +3i |=1解：|Z—(—3i )=1| 2、Re （Z+2）=—1 解：设Z=x+iy 得：x=3、|Z−2i |=|Z +4| 解：设Z=x+iy{|Z −2i |=√x 2+（y −2）2|Z +4|=√（x +4）2+y 2 得：2x+y+3=0 （垂直平分线） 1·1·4例：证明：设|Z 0|<1，若|Z |=1，则|Z−Z 01−Z 0̅̅̅̅·Z |=1 要证：|Z−Z 01−Z 0̅̅̅̅·Z |=1 即证：|Z −Z 0|=|1−Z0̅̅̅·Z |又：|Z |=1 |Z |2=1=Z ·Z所以：|1−Z 0̅̅̅·Z |=|Z ·Z −Z 0̅̅̅·Z | =|（Z −Z0̅̅̅）Z| =|Z −Z0̅̅̅|·|Z | =|Z −Z0̅̅̅̅̅̅̅̅̅| （|Z |=|Z |） =|Z −Z 0|例：|Z=1，且Re (Z )≠0，证：Z 1+Z 2是实数。
|若：Z=Z ，则Z 是实数。
所以：法1、 要证：Z 1+Z 2=(Z 1+Z2)̅̅̅̅̅̅̅̅=Z ̅1+Z2̅̅̅̅̅̅̅̅ 又：1=|Z |2=Z ·ZZ 1+Z 2=Z Z·Z̅+Z 2=1Z ̅+Z=12Re (Z )而Re （Z ）≠0法2、Z 1+Z 2=(Z 1+Z2)̅̅̅̅̅̅̅̅=Z ̅1+Z2̅̅̅̅̅̅̅̅ = Z ̅1+Z·Z ̅̅̅̅̅ =Z̅1+（Z̅）2 ∴Z+Z ·(Z )2=Z +Z ·Z 2 Z+Z =Z +Z例：计算：（−1+i √3）6令Z=—1+i √3=2（cos 23π+isin 23π）所以：（−1+i √3）6=26（cos 23π+sin 23π）=64 例：设（1−i ）n=（1+i ）n，求n法1、1+i=√2（cos π4+isin π4）1— i=√2（co s −π4+isin−π4）所以：2sinnπ4=0nπ4=k π n=4k法2、（1−i1+i )n= （1−i)n（1+i)n=1而：1−i1+i =（1−i）22=—i 所以：—i=1 得：n=4k例：Z4−1−i=0 求Z？解：Z4=1−i r=√2Z（1，—1）argZ=arctan（—1）=−π4三角表示：Z=√2（cos−π4+isin−π4）所以：Z=√2124·（cos−π4+2kπ4+isin−π4+2kπ4）k=0,1,2,3得：Z0，Z1，Z2，Z31·2复变函数1、0<|Z−i|<1表示以（0,1）为圆心，1为半径的元的内部，去掉圆心。
有界，多联通。
2、0<arg(Z−1)<π4，Re（Z)>2设：Z=x+iy，x>2由0<arg(Z−1)<π4，可知：Z−1=X−1+iy点（Z—1），即（x—1，y）在第一象限，{x−1>0 y>0所以：0<arg （Z−1）=arctan yx−1<π4tan（arg（Z—1））=yx−1<1（直线：y<x−1）例：limZ→I Z −I Z(1+Z 2)，满足“00”，所以根据洛比达法则：lim Z→I 13Z 2+1=−12limZ→I Z −I Z(1+Z 2)=lim Z→I Z −I Z(Z 2−I 2)=lim Z→I 1Z(Z +I)=−12P21·9lim Z→−1|Z |2+2Re (Z )+1Z 2−1=lim Z→−1|Z |2+Z +Z +1Z 2−1=lim Z→−1(Z +1)(Z +1)(Z −1)(Z +1)=−1+1−2=0 所以：该极限不存在。
例：f （Z ）=Z ，求导？lim ∆Z→0f (Z0̅̅̅+∆Z )−f(Z 0)∆Z=f′(Z 0) lim ∆Z→0Z +∆Z ̅̅̅̅̅̅̅̅̅−Z ∆Z=lim ∆Z→0∆Z ̅̅̅̅∆Z =lim ∆X→0∆Y→0∆X −I∆Y∆X +I∆Y ，取∆y =K ·∆X →0lim∆Z→0∆X −IK∆X ∆X +IK∆X =1−IK1+IK ，所以该极限不存在，Z 不可导。
例：f （Z ）=U+IVf’（Z ）=ðU ðX+IðV ðX =1I (ðU ðY+IðV ðY)例：已知f （Z ）=X 2−axy +by 2+i (CX 2−dxy +y 2)为复平面内的解析函数，求a ，b ，c ，d 。
解：设U=X 2−axy +by 2，V =CX 2−dxy +y 2ðU ðX =2X −ay ，ðV ðX =2CX −dy ，ðV ðy =−ax +2by ，ðVðy=−dx +2y 由ðU ðX =ðV ðy ，ðV ðy =ðV ðX，得：{2X −ay =−dx +2y −ax +2by =dy −2cx d =−2=a，所以：{a =2cb −1c =−1d =2b例：求Ln （1+i ）的主值？=ln |1+i |+i [arg (1+i )+2kπ]=ln √2+i (π4+2kπ)=12ln2+i （π4+2kπ）所以：Ln （1+i ）的主值：ln （1+i ）=12ln2+π4i例：求Lni 的主值？=ln |i |+i (argi +2kπ)=0+i (π2+2kπ)=i （π2+2kπ）所以：Lni 的主值：lni=π2i例：求Ln2的主值？=ln |2|+i (arg2+2kπ)=ln2+i2kπ所以：Ln2的主值：ln2=ln e 2 例：求Ln （-1）的主值？=ln |−1|+i [arg (−1)+2kπ]=ln1+i(π+2kπ=i(π+2kπ) 所以：Ln(-1)的主值：ln （-1）=i π注：{y =lnX (X >0) 单值的w =LnZ (Z ≠0) 多值的W=Z a =e aLnZ =e a[ln |Z |+i （argZ+2kπ）]1、当a =n ∈Z 时，Z n =e n·ln |Z |+in （argZ+2kπ）=e n·ln |Z |·e inargZ ·e 2kπni =e n·ln |Z |+iargZ=e n·lnZ ，单值。
2、当a=mn （有理数）时，（n ，m ）=1，n ∈Z +，m ∈ZZ mn=e mn [ln |Z |+i （argZ+2kπ）]=e mn ·ln |Z|·ei·mn （argZ+2kπ）=|Z |m n[cosm n(argZ +2kπ)+isin m n(argZ +2kπ)]，有n 个值，K =0,1，2···n −1。
注：e iZ=cosZ +isinZ3、a 为无理数或为虚数时，有无穷多值。
例：21+i =e (1+i )·Ln2=e (1+i )[ln2+i (arg2+2kπ)]=e (1+i )(ln+2kπi )=e ln2−2kπ+i （ln2+2kπ）=2e −2kπ·[cos (ln2)+isin （ln2）]注：e X+iy=e x （cosy +isiny ）例：(−2)√2=e √2·Ln (−2)=e √2·[ln |−2|+i (arg (−2)+2kπ)]=e √2·[ln2+i （π+2kπ）]=2e √2·[cos √2(π+2kπ)+isin （√2(π+2kπ)）]例：证明当cosZ=0时，Z=k π+π2解：cosZ=e iZ +e −iZ2=0，所以：e iZ =−e iZ =1e iZ，即：e 2iZ=−1，2iZ=Ln |−1|=i （π+2kπ），所以：Z=k π+π2P40·6（2）解下列方程：lnZ=π2i 解：ln |Z |+iargZ =π2i ，所以：{ln |Z |=0argZ =π2，即;{|Z |=1arg =π2所以：Z=|Z|·[cos(argZ)+isin（argZ）]=i注：Z=r（cosθ+sinθ）P40·8求下列函数的奇点。
（即求不解析的点或不可导的点。
）（1）1e Z+1，（3）eZ−1shZ解：(1)e Z=−1，Z=Ln(−1)=ln|−1|+i(π+2kπ)=i(π+2kπ)e x+iy=e x(cosy+isiny)=−1，所以：{e x cosy=−1e x siny=0，{siny=0cosy=−1e x=1，所以：{x=0+2kπy=−π+2kπ。
注：ew=Z↔W=lnZ（3）shZ=0=e Z−e−Z2，所以：e Z=e−Z，即：e2Z=1，2Z=ln1=2kπi，所以：Z=kπiP42·3 求函数W=1sh1Z的奇点？解：1、Z≠02、sin1Z ≠0，Z=1kπ，（k=±1，±2···）sin1Z =eiZ−e−iZ2i=0，e i Z=e1−i Z，e2i Z=1，2i1Z=Ln1=0+i（2kπ）所以：Z=1kπ，（k=±1，±2···）第三章 复变函数的积分参数方程法：有向曲线C {X =X (t ) C ：A →BY =Y (t ) C:α→βC ：Z （t ）=X(t)+I ·Y(t)∫f （Z ）dZ C=∫f (Z (t ))Z`（t ）dt βα例：计算I=∫Z 2dZ C ，其中C 为原点到2+I 的直线段。