x1 ( k ) x ( k ) y( k ) = [1 0 L 0] 2 + h0 u( k ) M xn ( k )
2 0 1 1 1 1 2 5
1 5
模拟结构图：
u( k )
hn
xn (k + 1)
hn−1
xn (k )
h2
L
x2 (k + 1)
h1
2 0 1 1 1 1 2 5 6
2、线性定常离散系统状态空间描述的模拟结构图
x ( k + 1) = Gx ( k ) + Hu ( k ) 对于： ，其模拟结构图如下： y( k ) = Cx ( k ) + Du( k )
D
u( k )
H
x ( k + 1)
+
z
−1
x(k )
C
+
y( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的差分项
y( k + n) + an−1 y( k + n − 1) + L + a1 y( k + 1) + a0 y( k ) = b0 u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) = y( k )
x ( k ) = y( k + 1) 2 x 3 ( k ) = y( k + 2 ) M xn ( k ) = y( k + n − 1)
y( k ) = x1 ( k )
2 0 1 1 1 1 2 5 1 1
写成矩阵形式，得到离散系统的状态空间表达式：
x1 ( k + 1) 0 x ( k + 1) 0 2 = M M xn−1 ( k + 1) 0 − a0 xn ( k + 1) 1 0 L 0 1 O M O O 0 L 0 − a1 L − an− 2 0 x1 ( k ) 0 M x2 ( k ) 0 0 M + M u( k ) 1 x n −1 ( k ) 0 − an−1 b0 xn ( k )
上式中：
h0 = bn h1 = bn−1 − an−1h0 h2 = bn− 2 − an−1h1 − an− 2 h0 M hn = b0 − an−1hn−1 − L − a1h1 − a0 h0
1 3
2 0 1 1 1 1 2 5
得到一阶差分方程组：
x 1 ( k + 1 ) = x 2 ( k ) + h1 u ( k ) x 2 ( k + 1 ) = x 3 ( k ) + h2 u ( k ) M x ( k + 1) = x ( k ) + h u( k ) n n −1 n−1 x n ( k + 1 ) = − a 0 x 1 ( k ) − a 1 x 2 ( k ) − L − a n − 1 x n ( k ) + hn u ( k )
1 0
2 0 1 1 1 1 2 5
化为一阶差分方程组：
x1 ( k + 1) = y( k + 1) = x2 ( k ) x2 ( k + 1) = y( k + 2) = x3 ( k ) M xn−1 ( k + 1) = y( k + n − 1) = xn ( k ) x ( k + 1) = y( k + n) n = − a0 y( k ) − a1 y( k + 1) − L − an−1 y( k + n − 1) + b0 u( k ) = − a0 x1 ( k ) − a1 x2 ( k ) − L − an−1 xn ( k ) + b0 u( k )
9
4、将差分方程化为状态空间描述：或转换为Z传递函数，再求 离散系统差分方程描述形式：
y( k + n) + an−1 y( k + n − 1) + L + a1 y( k + 1) + a0 y( k ) = bn u( k + n) + bn−1u( k + n − 1) + L + b0 u( k ) ( k = 0,1, 2L)
x1 ( k ) x ( k ) y = [1 0 L 0] 2 M xn ( k )
2 0 1 1 1 1 2 5 1 2
2）差分方程的输入函数中包含高于一阶的差分项
y( k + n) + an−1 y( k + n − 1) + L + a0 y( k ) = bn u( k + n) + L + b0 u( k )
−1 Y ( z ) = [ C ( zI − G ) H + D]U(z) = G(z)U(z) 整理上式得：
所以Z传递矩阵为： G(z)＝C(zI −G)−1 H + D 3）离散系统的特征方程为： zI −G = 0 而此特征方程的根就是线性离散系统的极点，也是系统矩 阵G的特征值。
2 0 1 1 1 1 2 5
gn 2 L
状态方程：y( kT ) = [c1
c2
x1 ( kT ) x ( kT ) + Du( kT ) L c n ] 2 M x ( kT ) n
（T为采样周期，经常省去不写） 写成矩阵形式，得离散系统的状态空间描述：
x ( k + 1) = Gx ( k ) + Hu ( k ) y( k ) = Cx ( k ) + Du( k )
2 0 1 1 1 1 2 5
2 ）第二可观标准型
x1 ( k + 1) 0 x ( k + 1) 1 2 = 0 M xn −1 ( k + 1) M x n ( k + 1) 0 0 L 0 1 M 0 − a0 x1 ( k ) b0 − a0bn x (k ) b − a b L 0 − a1 2 1 1 n L 0 − a 2 M + b2 − a 2 bn u( k ) M L M x n −1 ( k ) L 1 − a n −1 xn ( k ) bn−1 − a n−1bn 0
x1 ( k ) = y( k ) − h0 u( k ) x2 ( k ) = x1 ( k + 1) − h1u( k ) 选择状态变量： x3 ( k ) = x2 ( k + 1) − h2 u( k ) M xn ( k ) = xn−1 ( k + 1) − hn−1u( k )
U( z )
G(z)
Y (z)
2）MIMO离散系统的Z传递矩阵： 当初始状态 x ( 0 ) = 0 时，对以下状态空间描述做Z变换：
x ( k + 1) = Gx ( k ) + Hu ( k ) y( k ) = Cx ( k ) + Du( k )
2 0 1 1 1 1 2 5 8
zX(z) = GX(z) + HU(z) 得： Y(z) = CX(z) + DU(z)
第六章 线性离散时间系统 分析
1 .线性离散时间系统的状态空间描述 2 .线性离散时间系统状态方程的解 3 .线性离散时间系的能控( 观测) 性及稳定性分析
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1
第一节 线性离散时间系统 的状态空间描述
1 .离散系统的基本知识 2 .离散时间系统的状态方程 3 .连续时间系统的离散化
二、离散系统的状态空间描述 1、线性定常离散系统的状态空间描述为：
x1 ( k + 1)T g11 x ( k + 1)T g = 21 输出方程： 2 M M + x ( k 1 ) T n g n1 g12 g 22 M L L g1 n x1 ( kT ) h1 g 2 n x 2 ( kT ) h2 + u( kT ) M M M g nn xn ( kT ) hn
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。 这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
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1 ）第二可控标准型
x1 ( k + 1) 0 x ( k + 1) 0 2 = M M 0 x n ( k + 1) − a0 1 0 0 − a1 0 1 L 0 − a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 2 0 x 3 ( k ) + M u( k ) L L 0 1 M 0 L L − a n −1 1 x n ( k ) L L 0 L
2 0 1 1 1 1 2 5 4
拉氏变换是分析、设计线性连续系统的主要数学工具。Z 变 换是分析、设计线性离散控制系统的主要数学工具。
拉氏变换
S域代数 方程
S域解
连续 输入信号
微分 方程
直接 求解
拉 氏 反 变 换
线性 系统
离散
时域 解
Z 反 变 换
差分 方程
Z变换
Z域代数 方程