Fs f(t)estdt
(sj )
F j f (t)ejtdt
X(z) x(n)zn
(zesTs)
(w ΩTs )
2020/10/7
8
2.1 Z变换定义
• Z变换与拉氏变换
理想冲激抽样序列
s(t)T(t) (tnTs)
x(t)：有限带宽信号
通过抽样，得到如下的离散序列：
x s(n T s) x (t)s (t) x (t) (t n T s)x (n T s)(t n T s)
注意：
➢ 积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线
➢ 积分路径内部
的极点的留数
➢ 当n取不同的值，z=0处的极点的阶次不同
2020/10/7
20
2.5 Z反变换
已知：
2020/10/7
21
2.5 Z反变换
2020/10/7
22
2.5 Z反变换
2020/10/7
23
2.6 Z变换求解差分方程
2020/10/7
Y(z) X (z)H(z)
Y(z) H(z) X (z)
2020/10/7
31
2.7 转移函数
• FIR系统：h(n)为有限长，输入端不含输出对输入的反 馈，系统总是稳定的
M
H(z)1 b(r)zr r1 M
y(n)b(r)x(nr)x(n) r1 M
h(n) b(r)(nr) r0
h(0)b(0)h ,(1 )b(1 ),.h .(M .,)b(M )h ,(n)0,nM
e t
使得：
limf(te)t 0
t
对 f (t)e t 求傅氏变换得到如下的拉氏变换 ：
Fs f(t)estdt
(sj )
可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换， 即拉氏变换的特例
2020/10/7
5
2.1 Z变换定义
• 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析 系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需 要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变 换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。
akzk
k0 零输入解
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27
2.6 Z变换求解差分方程
例1：
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28
2.6 Z变换求解差分方程
例2：
2020/10/7
29
2.7 转移函数
• 线性时不变离散系统四种表示方法
频率响应
H(ej) h(n)ejn n0
转移函数
（也称系统函数）
H(z) h(n)zn n0
f tdt
傅里叶变换的局限性:
1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件[如U(t)];
2) 有些信号不存在傅立叶变换如 et(0)
3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难;
4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应
2020/10/7
4
2.0 预备内容——
• 拉普拉斯变换
j
引入衰减因子：
ak zk y( j)z j
Y(z) k0
jk N
ak zk
k 0
26
2.6 Z变换求解差分方程
• 全响应
N
1
M
a kz k[Y (z) y(j)zj] b kX (z)z k
k 0
j k
k 0
M
N
1
bkzk
akzk y(j)zj
Y(z)kN0
X(z)k0
jk N
akzk
k0 零状态解
2020/10/7Biblioteka 332.7 转移函数n
h(n)
n n
x(n)zn
n
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34
2.7 转移函数
M
M
(1crz1)
(zcr)
H(z)K
r1 N
Kz(NM)
r1 N
(1drz1)
(zdr)
r1
r1
其中K为实数，用z=e jw代入，即系统的频率响应为：
M
M
(1crejw)
(ejw cr)
15
2.4 Z变换性质
例
(2)中结果不对
2020/10/7
16
2.5 Z反变换
定义及求解法
2020/10/7
17
2.5 Z反变换
• 长除法——幂级数展开
X(z) x(n)zn n0
2020/10/7
18
2.5 Z反变换
• 部分分式
|z|＞1/2
2020/10/7
19
2.5 Z反变换
• 留数法 x(n) re[sX(z)zn1]zzk k
2.7 转移函数
频响几何分析示例一
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36
2.7 转移函数
频响几何分析示例二
H(e j )
。
。
0 2
零点在单位圆上：0,
极点在 /2 , 3 /2
2020/10/7
3 2 ω
2
37
2.7 转移函数
频响几何分析示例三
2020/10/7
38
结束
2020/10/7
39
统的零点和极点。
✓ 分析系统因果性
✓ 分析系统稳定性:一个LTI系统稳定的充要条件是其所有的极 点位于单位圆内
✓ 估计系统频率响应：几何分析法
✓ 数字滤波器设计的一般法则：阻止一个频率，在单位圆相应 频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率 处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。
H(ejw) K
r1 N
Kej(NM)w
r1 N
(1drejw)
(wjw dr)
r1
r1
| H(ejw)| ejarg[H(ejw)]
其模等于： 其相角为：
M
| (e jw cr ) |
| H (e jw) || K |
r 1 N
| (e jw dr ) |
r 1
M
N
2020/10/7 a r g [ H ( e j w ) ] a r g [ K ] r 1 a r g [ e j w c r ] r 1 a r g [ e j w d r ] ( N 3M 5 ) w
几条重要性质
z变换
收敛域
X(z) H(z) aX(z)+bH(z) z-mX(z) X*(z*) X(1/z) X(z)H(z)
Rx-<|z|<Rx+ Rh-<|z|<Rh+ max[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+] Rx-<|z|<Rx+ Rx-<|z|<Rx+ 1/Rx+<|z|<1/Rxmax[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+]
第二章 Z变换及离散时间系统分析
Chapter 2 Z-Transform and Discrete Time Systems
Analysis
2020/10/7
1
思考
• 本章z变换分析法，即离散信号与系统的 “频率域分析”，与前一章“时域分析” 相对。
• 思考：为什么要进行“频域分析”？
2020/10/7
• IIR系统： h(n)为无限长，输入端包含输出对输入的反 馈，存在稳定性问题
2020/10/7
32
2.7 转移函数
• 零极点分析
由式2.1因式分解，得到：
M
M
(1-cmz-1)
(zcm)
H(z)KmN1
Kz(NM)
m1 N
(1-dkz-1)
(zdk)
k1
k1
使以上转移函数分子、分母多项式等于零的z值分别称为系
n
n
2020/10/7
9
2.1 Z变换定义
j
• Z变换与拉氏变换
X s L[xs (nTs )] xs (nTs )es tdt [ x(nTs ) (t nTs )]es tdt
n
x(nTs ) (t nTs )es tdt
n
x(nTs )es nTs n
|z|<|α|
n u(n)
z -1 (1 - z -1) 2
|z|>1
α z -1
2020/10/n7αn u(n)
(1 - αz -1) 2
|z|>|α|
14
2.4 Z变换性质
序列 x(n) h(n) ax(n)+bh(n) x(n-m) x*(n) x(-n) x(n)*h(n)
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24
2.6 Z变换求解差分方程
零状态解
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2.6 Z变换求解差分方程
• II)求暂态解（零输入解）
N
ak y(n k) 0
Z T [y (n - k )u (n )]
k 0
= y ( n k ) z n n0
z k y ( n k ) z ( n k ) n0
5. 极点：分母多项式Q(z)的根
2020/10/7
13
2.3 常用序列Z变换
序列
Z变换
收敛域
δ(n)
1
全Z平面
1
u(n)
|z|>1
1 - z -1
αn u(n)
1 1 - αz -1
|z|>|α|
RN (n)
1 - z -N 1 - z -1
|z|>0