k 0时 s1 0 0 k 1 2时 k 1/2时
k 1/2时
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点 相同 s1, s2均为负实数 s1 s2 -1 s1,2 -1 j 2k - 1,实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直 线上
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 远.
G(S)H(S)
K S(S 4)(S2 4S 20)
试绘制该系统的根轨迹的草图.
解 : (1)开 环 极 点 为P1 0, P2
(2)实 轴上 的根 轨迹[0,-4]
-4, P3
-2
j4, P4
p-22 -
j4
(3)渐 近线
-4
a
422 4
2
(2l 1)
a
4
l0
a
4
45
l 1
a
3 4
增 益; 对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 系 统 根 轨 迹 的 增 益就 等 于 开 环 系统 根 轨 迹 的 增 益.
(2)闭 环 零 点 由 开 环 前 向 通路 传 递 函 数 的 零 点 和 反馈 通 路 传函的 极 点 所 组 成;对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 零 点 就 是 开 环 零点
(2)渐近线 180 一条 (3)无分离点 (4)出射角,入射角
p4 -2.5
p2 180 - 56.5 19 59 - 108.5 - 90 - 37 79 z1 180 63.5 153 199 121 - 90 - 117 149.5
19 °
37 ° -2
56.5 ° -1
1 0.423
2 1.577(舍)
-2
-1
0
7.根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点
(1)把s j代 入1 G(s)H (s) 0得 1 G(j )H(j ) 0
令Re[1 G(j )H(j )] 0, Im[1 G(j )H(j )] 0 解 得及K c
(2)应 用Routh判 据 接 上 例,可 求 得 根 轨 迹 与 虚 轴 的交 点
3 3
180
a
(2l 1) nm
5 3
300
(l 0) (l 1) (l 2)
-4 -3
-2 -1
5.实 轴 上 的 根 轨 迹
实 轴 上 的 某 一 区 域,若 其 右 边 开 环 零 极 点 个数 之 和 为 奇 数
则该区域必是根轨迹
6.根 轨 迹 与 实 轴 的 交 点(分 离 点 与 会 Pi
)
m
ds ( i1
S
Zi
)
S
0
dk 0 ds
例.已 知 某 负 反 馈 系 统 开 环传 函 为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
试 画 出 其 根 轨 迹.
解 : a 1
a 60, 180, 300
d ds
[s(s
1)(s
2)]s
s n a n-1s n-1 a1s a 0 0 设 根 为s1 , s 2 , , s n , 则 有
(s - s1 )(s - s 2 ) (s - sn ) 0 由 代 数 方 程 根 与 系 数 的 关 系, 有
n
si -an-1
i 1
n
(si ) a0
i 1
n
对于稳定系统
G(s)H(s)|
K | i 1 n
s
zi
|
|
i 1
s
pi
|
m
n
G(s)H(s) (s - z i ) - (s - pi )
i 1
i 1
§ 2 绘制根轨迹的基本规则
一.180根 轨 迹 的 绘 制 规 则
1. 根轨迹分支数
根 轨 迹 的 分 支 数 等 于 闭环 极 点 数 或 等 于 特 征 方程 的 阶 数
(3)闭 环 极 点 与 开 环 零 点,开 环 极 点 以 及 根 轨 迹 增益 均 有 关 根 轨迹 法 的 基 本 任 务:
如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 及 根 轨 迹 增 益, 通 过 图 解 的 方 法找 出 闭 环 极 点.
4.根 轨 迹 方 程
根 轨 迹 是 所 有 闭 环 极 点的 集 合.
第四章 根轨迹法
§ 1 反馈系统的根轨迹
1.根 轨 迹 的 概 念 开 环 系 统 某 一 参 数 从 零到 无 穷 变 化 时,闭 环 系 统 特 征 方 程
式 的 根 在S平 面 内 变 化 的 轨 迹 称 根轨 迹 。(root locus)
例. 设 有 一 单 位 反 馈 系 统 如图 所 示G(S ) 2k s(s 2)
- j 3 - 3 2 j2 k 0 - 3 2 k 0 - 3 2 0
由此解得
1 0 2,3 2 (rad/S) K C 6
8.根 轨 迹 的 出 射 角 与 入 射角 出 射 角: 根 轨 迹 离 开 开 环 复 数 极点 处 的 切 线 方 向
与实轴正方向的夹角
入 射 角: 根 轨 迹 进 入 开 环 复 数 零点 处 的 切 线 方 向 与实轴正方向的夹角
a
i 1
i 1
nm
渐 近 线 与 实 轴 的 交 角:
a
2l 1
nm
(l 0,1, , n m 1)
例.设控制系统的开环传函为
G(S)
K(S 1) S ( S 4)( S 2 2 S 2)
试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据
解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1- j
m
n
Pl 180 (Pl Z j ) (Pl Pj )
j1
j1
jl
n
m
Zl 180 (Z l Pj ) (Z l Z j )
j1
j1
jl
p1 A
θp1
∠（p1-z1） z1
∠（p1-p3） p3
∠（p1-p2）
p2
( p1 z1 ) p1 ( p1 p2 ) ( p1 p3 ) 1800 i3600 p1 (1800 i3600 ) ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) ( p1 p3 )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
G(s)H(s) K(s - z1 )(s - z 2 ) (s - zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
| G(s)H(s)| 1
幅值条件
G(s)H(s) 180 i360 (i 0,1,2, ) 相 角 条 件
m
|
p3
180 tg 1
4 2
(180 tg 1
4 2
)
90
90
p4 90
(6)根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点
S4 8S3 36S2 80S k 0
S4
1
36 k
S3
8
80 0
S2
26 k
S1
2680-8k 26
0
S0
k
0 2680-8k 26
26S2 260 0
k 260 得 S j 10
例.设系统开环传函为
G(S) K(S 1.5)(S 2 j)(S 2- j) S ( S 2.5)( S 0.5 j1.5)( S 0.5 j1.5)
试绘制系统的概略根轨迹
解:
(1)起始点 p1 0 p2 -0.5 - j1.5 p3 -0.5 j1.5 实轴上的根轨迹 [0,-1.5] [-2.5,-]
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
-2
0
K
2.根 轨迹 与 系统 性能
稳 定性: 根 轨迹 若 越过 虚轴 进 入s右 半平 面,与 虚轴 交 点处 的
k 即为临界增益
稳 态性 能: 根 据坐 标 原点 的根 数,确 定系 统 的型 别,同 时可 以
确 定对 应 的静 态误 差 系数
(7) A点 的 增 益 K A (4 2.5) (4 2.5) 22 2.52 22 2.52 1.5 6.5 (4 6.25) 100
例2.
G(S)H(S)
S(S
K 3)(S2
2S
2)
解:
(1) a 1.25 a 45,135
(2)分 离 点
-2.3
(3) pi -71.6
动 态性 能: 过 阻尼 0 k 0.5
临界阻尼 k 0.5
欠阻尼
k 0.5
3.闭 环零 极 点 与开 环 零极点 之间 的 关 系
如 图所 示 系 统的 闭 环传函 为
(S)
G (S) 1G (S)H(S)
R(s)
G(s)
一般开环传函可以写成
H(s)
f
G(S)
KG
(S
i 1 q
Zi )
0
3 2 6 2 0
1 0.423
2 1.577(舍)
例.已 知 某 负 反 馈 系 统 开 环传 函 为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
试 画 出 其 根 轨 迹.
解 : a 1
a 60, 180, 300
d ds
[s(s
1)(s
2)]s
0
3 2 6 2 0
θ1=108.5°
59 °
90°
p2 180 56.5 19 59 108.5 90 37 79
199 °
63.5 ° 117 °
153 °
90 °
121 °
z1 180 63.5 153 199 121 90 117 149.5