计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：
kg
1
s(s 4)(s 6) s1.2 j2.08 m
解得：kg 44
k(is 1)
开环传递函数以Gk (s)
i 1 n
的形式表示时，k称为开环放
大系数。
(Tjs 1)
j 1
显然 k与kg 的关系为：k kg
zi ，式中 p j不计0极点。 pj
算。
下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：
% ectg1 100%, 当 % 18%时解得： 60
在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 60的直线，与根轨 迹交与A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点， 这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以 确定这时的根轨迹增益kg ，进而求得开环放大系数k。
kgd 0
1.628 3
5.971 8.80 9.375 7.457 3.949
kgd 的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。
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➢ 入射角：2 103 ➢ 与虚轴的交点（略）。这时的增益值：kgp 14,64,195
由图可知：当 0 kg 14 和 64 kg 195 时，系统
第五节 控制系统的根轨迹分析法
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利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 ❖ 由给定参数确定闭环系统的零、极点的位置； ❖ 分析参数变化对系统稳定性的影响； ❖ 分析系统的瞬态和稳态性能； ❖ 根据性能要求确定系统的参数； ❖ 对系统进行校正。
闭环特征方程为：s2 s 2 kg 0 ，当s=0时，kgp 2 ，所以，系 统稳定的条件是：kg 2
Tuesday, September 22, 确定
利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系
统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
是稳定的（为什？）；
kg 195
kg 64 kg 14
当kg 195和14 kg 64 时， 系统是不稳定的。
kg 14 kg 64
kg 195
左图是用Matlab工具绘 制的。
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条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。
➢ 渐进线：与实轴的交点：
pi zi 4 6 1.4 2 3.13
nm
3
倾角： (2k 1) ,
nm
3
➢ 实轴上根轨迹区间：(,6),[4,0]
6 4
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0
3
➢
分离角（点）：
d
2
N (s) s2 2s 4, N ' (s) 2s 2
的区域中，有：
% ectg 和ts
3
0
0
30 60 90
β
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上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：
[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：Gk
(s)
s(s
kg 4)( s
6)
若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 % 18% ，试确定 开环放大系数。
D(s) s5 11.4s4 39s3 43.6s2 24s
D' (s) 5s4 45.6s3 117 s2 87.2s 24
N '(s)D(s) N(s)D'(s) 0
由： k gd
D' (s) N '(s)
|s d
可以求得分离点。
近似求法：分离点在[-4，0]之间。
s0
-0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4
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一、 条件稳定系统的分析
[例4-11]：设开环系统传递函数为：Gk
(s)
s(s
kg (s2 2s 4)(s 6)(s2
4) 1.4s
1)
试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 k g的取值范围。
[解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：
➢ 开环极点：0，-4，-6， 0.7 j0.714 ，零点：1 j1.732
以二阶系统为例：开环传递函数为Gk
闭环传递函数为(s)
s2
n2 2 n s
n2
(s)
n2 s(s 2
)
共轭极点为：s1,2 n j 1 2n
j 1 2n
在s平面上的分布如右图： 闭环极点的张角 为：
n
cos ( 1 2n )2 ( n )2 , cos1 n
所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。
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我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整
时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：
% e 1 2 100% ectg 100%
ts
3
n
3
(为极点实部 )
n
j 1 2n
%和 的关系如下图
100
80
60 δ%
40
20
若闭环极点落在下图中红线包围
A j
3 2
1
6
4
0
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设A点坐标为： j ，则：
tg60 3
（1）
相角条件为：1 2 3
120 tg1 tg1
4
6
（2）
11
由(1)，(2)式解得： 1.2, 2.08共轭主导极点： s1,2 1.2 j2.。08
[解]：首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为+j5,-j5，这时的 临界增益 kgp 240 当 kg 240 时， 闭环系统不稳定。
A B
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这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着kg 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计
下面的系统就是条件稳定系统的例子：
❖ 开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s 的右半平面； ❖ 具有正反馈的环节。
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[例]非最小相位系统：Gk 稳定时的增益值。
(s)
(s
kg 1)( s
2)
，试确定使系统
[解]：根轨迹如右：
有闭环极点在右 半平面，系统是 不稳定的。显然 稳定临界点在原 点。该点的增益 临界值为 kgp 。