S1 1.5 , Z1 1.7 S2,3 4 9.2 j
C (S ) 1 R( S ) (0.01S 2 0.08S 1)
22
系统性能的定性分析
了解闭环零点和闭环实数主导极点对系统性能的影 CI(s) R(s) 1 响非常重要。 5
—
s (5 s 1)
取Td＝0.8
要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点
2
例8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
1 (s a) G ( s ) 42 s ( s 1)
试绘制以a为参变量的参数根轨迹的大致图形
0a
3
P116 例题4.9 已知具有两个负反馈回路系统如图所示， 试以反馈系数为参变量 绘制根轨迹。
因此，靠近坐标原点的偶极子对动态性能的影响必 须考虑。
偶极子的确定：闭环零、极之间的距离比它们到其他极点的
距离及其自身的模值小一个数量级，这对闭环零、极点构成偶极
子。
18
闭环传递函数
K ( s)
*
(s z
i 1
m
i
)
(s
j 1
n
pj)
单位阶跃输入的响应：
n A0 Ak C ( s) s k 1 s pk


i 1
在绘制广义根轨迹时可将闭环特征方程式进行等 效变换，写成类似标准形式。
K r B( s) 将特征方程式变换： ＋G( s) H ( s)＝ 1 1 ＝0 A( s)
1
例7：设单位反馈系统的开环传递函数为
G (s) K s ( s 1)(Ta s 1)
其中开环增益可自行选定。试分析时间常数 Ta 对系统性能的 影响。
阻尼线cos1 cos1 0.5 600 上 S1, 2 0.33 0.58 j S3 2.33
C (S ) 2 0.53 0.436 2 R( S ) S ( S 1)(S 2) 2 0.53 S 0.66S 0.21 436
P124例4.12
ess 0
( s )
错误
2 ( s 2 2 s 2)
20
P123例4.11
R(S)
+ -
2K S ( S 1)( S 2)
K r 2K
C(S)
Kr G ( s) H s S ( S 1)(S 2)
（1）根轨迹图见P102～1.3例4.1，稳定范围：0<K<3
i 1 ik
14
j 1 n
已知系统的闭环零点、极点定性地分析或定量地估算系统 的性能。
闭环零极点与时间响应的关系
设系统闭环传递函数
系统的闭环极点
单位阶跃响应
20 ( s ) ( s 10)(s 2 2s 2)
p1 10,
p2,3 1 j
h(t ) 1 0.024e10t 1.55et cos(t 129o ) h(t ) 1 1.55et cos(t 129o ) p2,3 1 j 非主导极点 p1 10
4.5 广义（参数）根轨迹 前面讨论的都是以系统的开环根轨迹增益 K r 为 参数的根轨迹，实际上，也可以绘制除 K r 以外 的任何参变量的根轨迹。 m Kr s z j K r B( s ) j 1 1＋G ( s) H ( s)＝1 1＋ n ＝0 A( s) s pi
z0 取 1， 提高开环增益 p0
z0 取 1， 降低开环增益 ，改善动态特性 p0
9
1、附加开环零点的作用 (1) 附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。 设开环传递函数为 *
G( s) H ( s) K ( s z1 ) s ( s 2 2s 2)
z 1 是附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当 z1 时，表明不存在有限零点。 令 z 1 为不同的数值，对应的根轨迹见P.118 图4-17所示：
15
近似结果
主导极点
2. 闭环主导极点与闭环偶极子
闭环主导极点（一个或一对）：在闭环极点中离虚轴 最近，而且附近无零点、极点，对稳定系统动态性能 的影响最大，起着主要作用。系统降阶（一、二阶）。
Si i ji
S0 0 j 0
Z i i ji
i 5 0
K r s z j
m j 1
s pi
i 1
n
s z0 s p0
G ( s) H ( s)
K j s 1
m
S Ti s 1
i 1
j 1 n
K Kr
z
i
m
p
j j 1
i 1 n
z0 p0
特征方程式： f (S ) S (S 1) 9 S 9＝0 9 S Kr S 将特征方程式变换：1＋ ＝1＋ ＝0 S ( S 1)＋9 S ( S 1)＋9 4
Kr S Kr S G( S ) H ( S )＝ 2 9 K r S ( S 1)＋9 S S＋9 Kr S Kr S 1 2 1 ( S 0.5 2.95 j )(S 0.5 2.95 j ) ( S ) ＋9 2 4
j

0
j

j

0
2.增加开环零点： 重心向左移，相对稳定性变好。
j

0 0
j

7
3.增加开环偶极子： 在原点附近增加开环偶极子，系 统的动态性能变化不大，稳态性能得到提高。
j
z0 p0
j
o

z0
p0
0

根轨迹局限: (1)无闭环零点信息
(2)表达稳态误差不直观
8
G(s) H ( s)
解：系统开环传递函数 R(S) 9 C (S ) S ( S 1) G(s) E (S ) 1 9 S S ( S 1)
E(S)
9 S (S 1) C (S )
S
9 S ( S 1) 9 S
C (S ) 9 R( S ) S ( S 1) 9 S 9
2
j
Kr 15 0.555 9 39
0.555
-3
0.5 2.95 j
o

可以证明，该系统的根轨迹 是一段以原点为圆心，半径 为3的圆弧。
0.5 2.95 j
3
2 2
2
6
4.6 增加开环零极点对根轨迹的影响 1.增加开环极点： 重心向右移，相对稳定性变差。
从闭环零、极点分布，系统性能的定量估算
(s a ) 2a ( s ) a ( s a)(s 2 2s 2)
(0) 1
简化后
ess 0
1 2a ( s ) 2 a ( s 2s 2)
(0) 1
4-7 用根轨迹分析系统性能 应用根轨迹法，可以迅速确定出系统在某一可变参 数值下的闭环零、极点位置，得到相应的闭环传递函数。 根据闭环零极点分布，确定（估计）系统的性能。 1.闭环零极点分布与单位阶跃响应的定性分析 设闭环传递函数：
C ( s) G(s) R( s) 1 G ( s) H ( s) K r s z j
（a）无开环零点；（b）z1 3 ；（c） z1 2
（d） z1 0
10
11
(2) 附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外， 还可以改善系统的动态性能。
j j
s1 s3 p3 z1 p2 s2
np
0
s2
1
s1 p2 z1

p3
p1 0

s3
n
结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选 配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到 明显的改善。 12
c(t ) A0 Ak e pk t
k 1
m * m * K ( zi ) K ( s zi ) i 1 i 1 A0 s n n s ( s p j ) ( p j ) j 1 j 1 s 0
k 1
n
（1）Sk都具有负实部（在S左半平面），系统稳定。
（2）Sk远离虚轴， e sk t 衰减快，上升快，调整短。
（3）Sk共轭极点位于射线 cos1 450，超调量小。 （4）Ak小，动态过程短，C(t ) A0 ,
t
Ak
K r sk z j
m
sk sk si
求分离点或会合点
2
S S 9 Kr S
2
d d S S 9 2S 1S 1 S S 9 Kr 0 2 ds ds S S
2


S 9 0
2
S1 3
(S2 3舍去)
5
S S 9 9 3 9 15 Kr S 3 3 S 3
解：闭环特征方程
s( s 1)(Ta s 1) K 0 [ s ( s 1) K ] Ta s 2 ( s 1) 0 Ta s 2 ( s 1) Ta s 2 ( s 1) 1 0 G1 ( s ) s ( s 1) K s ( s 1) K
m * m * K ( pk zi ) K ( s zi ) i 1 Ak ni 1 ( s pk ) n pk ( pk p j ) s ( s p j ) j 1 j 1 s pk