这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。 此外，
X ,Y C 12
[0,1]2
uvdC (u, v) 3 12
[0,1]2
C (u, v)dudv 3
即可将 X ,Y 理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平 均距离。
Kendall’s tau及Spearman’s rho作为度量相关性指标的合理性
t-分布Copula函数
t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。 定义5 正态分布随机变量 X1 , , X n 的均值分别为 0， 2 方差分别为1，协方差矩阵为R。Y为 分布随机变量， ( X1 , , X n ) 自由度为 ，与 独立。则随机变量 U t ( X ),i I 的分布函数 C (u , , u )为Copula函数， Y 称为自由度为 ，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。
LY (t ) : E[etY ] ety dG( y) ety g ( y)dy : Lg (t ),t 0
0 0
L (t ) : e ( y)dy (t ),t 0
ty 0

(14.10)
（3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。
n
n

是一列连续随机变量，有Copula函数 C C ， n
定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则 Kendall’s tau和Spearman’s rho满足定义13所述要求。
Kendall’s tau与Spearman’s rho的关系
几种不同生成元的Copula函数：
定义9 （1）Clayton Copula:
(t ) (t 1),

[ 1]
( s) (1 s) , 0


1
(14.11)
（2）Gumbel Copula:
(t ) ( ln t ) ,
（3）Frank Copula:
X ,Y 3(P[( X1 X 2 )(Y1 Y3 ) 0] P[( X1 X 2 )(Y1 Y3 ) 0]) (14.21)
定理5 连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，则X,Y 的Spearman’s rho为： (14.22) 12 uvdC (u, v) 3 12 C (u, v)dudv 3
i i
,R
1
n
Archimedean Copula函数
定义6 Archimedean Copula函数 C :[0,1]n [0,1] 可表述 为如下形式： I (14.7) [ 1]
C ( x) ( ( xi ))
i 1
其中函数 :[0,1] R , (1) 0, (0) ，函数 称为 Copula函数的生成元。 生成元并非任意，必须满足 的导数随维数n的增加而 (R 收敛。如果 [1] (R )是在任何维数下的可容许生成元， 必须是一个Laplace变换。
1 1 1 C (u , v ) C (u , v ) C (u, v) (C (u, v) du )dv 0 v u 0 0 u v 1 u 1
C (u, v) C (u, v) du )dv 0 0 u v 1 1 1 C (u, v) C (u, v) dudv 0 0 2 u v (v
定义13 对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量 ，必须满足： （1） 对( X , Y ) 有定义； （2）1 X ,Y 1, X , X 1, X , X 1 （3） X ,Y Y , X （4）若X,Y独立，则 X ,Y 0 （5） X ,Y X ,Y X ,Y （6）若 C1, C2 满足 C1 C2 ，则 C1 C2 （7）若 {( X n , Yn )} 则 lim C C
, tn ) C (t1 ,
n C :[0,1] [0,1] 为Copula函数，若对 定义2 n维函数 n个服从均匀分布的随机变量 U1,U2 , ,Un ，满足：
(14.2) 即Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函 数。
C(u1, u2 ,
, un ) P[U1 u1,U2 u2 ,
Copula函数的一些其他性质：
性质1 C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递 减，即，若 v [0,1]n，则： (14.4) 性质2（Frechet-Hoeffding约束）C为n维Copula函数， n v [0,1] 则对于每个 ，有： (14.5) W n (v ) C(v ) M n (v ) 其中

[ 1]
( s) e
s

1

, 1
Байду номын сангаас
(14.12)
e t 1 (t ) ln , e 1
(14.13) (14.14)
\{0}

[ 1]
( s ) ln[1 e (1 e )],
s
1


运用Copula函数的相关性度量
运用Copula函数能对非线性相关性进行度量，其思想 主要是度量变量的一致性，其中常用的度量指标为 Kendall’s tau和Spearman’s rho。 定义10（一致性）令 ( xi , yi ),( x j , y j ) 为向量X，Y的两组观 测。若 xi x j )( yi y j ) 0，则称 ( xi , yi ) 与 ( x j , y j ) 一致。 若 xi x j )( yi y j ) 0 ，则称为不一致。
X ,Y C

[0,1]2
若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数 恰为C，则： X ,Y 4 C (u, v)dC (u, v) 1 4 E[C (U ,V )] 1 (14.17) [0,1]
2
下面讨论如何计算Kendall’s tau：
2C (u, v) [0,1]2 C (u, v)dC (u, v) 0 0 C (u, v) uv dudv 1 1 2C (u, v) ( C (u, v) du )dv 0 0 uv
X ( X1, , X n ) 有Copula函数C (u )
常见Copula函数
乘积Copula函数 定义3 满足 (v ) v1 v2 vn 的Copula函数称为乘积 Copula函数。 乘积Copula函数是独立随机变量的Copula函数。
n
定理3 令 U1,U2 , ,Un 为连续随机变量，则 U1,U2 , ,Un 彼此独立当且仅当这些变量的Copula函数 C n 。
1 1
Spearman’s rho
定义12 设连续随机变量 ( X1, Y1 ),( X 2 , Y2 ),( X 3 , Y3 ) 彼此独立， X的边 X i , Yi ,i 之间的联合分布均为 1, 2,3 且每组 H， i , Yi 际分布均分别为F,G。则Spearman’s rho定义为：
W n (v ) max(v1 v2 M (v ) min(v1 , v2 ,
n
C(v ) C(v j , vj ),v j vj 1,j I
vn n 1,0) , vn )
(14.6)
性质3 （递增变化不变性） 随机变量向量 。fi : R R 为 一族严格递增函数。则 C (u ) 仍是 X ( f1 ( X1 ), , fn ( X n )) 的Copula函数。
i i j j
cd
2
根据上述定义，t即为数组对 {( xi , yi ),( x j , y j )} 一致与不 一致的概率之差。
将Kendall’s tau引入Copula函数： 定理4 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则 (X，Y)的Kendall’s tau为： 4 C (u, v)dC (u, v) 1 (14.16)
Copula函数
n C :[0,1] [0,1] ，满足： 定义1 n维Copula函数
n (1) u [0,1]，若中至少有一个分量为 0，则 C (u ) 0；若 u 中除uk 外的分量均为1，则 C(u ) uk ； (2) a, b [0,1]n，若 a b ，则 VC ([a, b ]) 0 ，其中：
正态Copula函数
定义4 正态分布随机变量 X1 , , X n 的均值分别为1 , , ， n 方差分别为 1 , , n ，协方差矩阵为R，则随机变量 X i U i : ( i ),i I 的分布函数CR (u1 , , un )为Copula函数，称 i 为协方差矩阵为的正态（Gauss）Copula函数。（ 为 标准正态分布函数）
,U n un ]
Copula函数的性质
引理1 随机变量有连续分布函数F，则Z=F(X) 在[0,1]上 均匀分布。 定理2（Sklar定理） 设随机变量 X1, , X n 的边际分布 函数为 F1 , , Fn ，联合分布函数为F。则有n维Copula 函数，使得对于所有 x R n ，有： (14.3) F ( x) C( F1 ( x1 ), , Fn ( xn ))
X ,Y C

[0,1]2

[0,1]2
若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数 恰为C，则： E (UV ) E (U ) E (V ) (14.23) 12 uvdC (u, v) 3 12 E (UV ) 3
X ,Y

[0,1]2
Var (U ) Var (V )
[ 1]