函数单调性的应用
一、比较大小
例1 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小.
解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2，
∴f (－1)＝f (5).
∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，
∴f (2)<f (4)<f (5)，即f (2)<f (4)<f (－1).
评注 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间.
二、解不等式
例2 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)<f (1－2t )，求实数t 的取值范围.
解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
－1<t －1<1，－1<1－2t <1，
t －1<1－2t ，解得0<t <23. 评注 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式. (2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围.
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错.
三、求参数的值或取值范围
例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围.
解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，
则Δx＝x2－x1>0.
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x32－ax2)－(x31－ax1)
＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22－a).
∵1≤x1<x2，∴x21＋x1x2＋x22>3.
显然不存在常数a，使(x21＋x1x2＋x22－a)恒为负值.
又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a，使x21＋x1x2＋x22－a恒为正数，
即x21＋x1x2＋x22>a.
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x21＋x1x2＋x22>3，
∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴a的取值范围是(0,3].
四、利用函数单调性求函数的最值
例4 已知函数f(x)＝x2＋2x＋a
x，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；
(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值.
解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x ＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在
[2，＋∞)上是增函数，
∴f (x )min ＝f (2)＝6.
(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2.
易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数.
∴f (x )min ＝f (1)＝72.
(3)函数f (x )＝x ＋a x ＋2在(0，a ]上是减函数，
在[a ，＋∞)上是增函数. 当a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2. 当a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.。