带电体的静电能
1. 点电荷之间的相互作用能（e W ）：设两点电荷1q ,2q 。

我们知道1q 通过激发1E 作用于2
q （2q 则通过激发2E 作用于1q ），2q 在1E 中具有电势能21W ，1q 在2E 中具有电势能12W ，并有21W =12W 。

即1q ,2q 组成的系统确定的电势能W=12W =21W 是1q ,2q 共有的，称电势能W 是1q ,2q 的相互作用能。

2. 带电体系的自能（s W ）：由点电荷i q 组成的点电荷系，它们之间相互作用的相互作用能之和称为该系统的自能。

（对于孤立的由若干个电荷连续分布的带电体组成的系统可看
成点电荷系）。

3. 静电能（W ）:对于孤立的带电体它的自能就是它的静电能。

但对于（孤立的）由若干
个电荷连续分布的带电体组成的系统中的任一个带电体，它不仅具有自能，还具有其它带电体对它的作用能，这两部分能量之和是这个带电体的静电能。

但从整体看，系统的自能就是系统的静电能。

需要注意的是：带电体的静电能并不等于带电体的各部分在电
场中具有的电势能之和W '（点电荷系则i i
i
W q u '=
∑，i
u 是i
q 处其它电荷产生的电势
之和，对于连续带电体则过渡到积分：W udq '=⎰
，积分包含线、面、体形式），W 与W '
存在着简单倍数关系。

4. 带电体的静电能的计算：
（1） 点电荷系{}|1,2,...,i q i n =：由静电能W 的定义我们知112n
i ij i j i
W q u =≠=∑∑,其中ij
u 是点电荷j q 在i q 处产生的电势。

所以1
12n
i i i W q u ==∑(其中i u 是除i q 其它电荷在i q 处
产生的电势之和)，即W=12
W '。

（2） 单一电荷连续分布的带电体：1
2W udq =
⎰
，积分遍及整个带电区域，其中u 为电荷元dq 处的电势，这个电势是由整个带电体产生的，dq 处的电势可以认为不含有
dq 的贡献（dq 产生的电势du 较其它电荷元产生的电势来说是一个无穷小量）
（3） 若干个电荷连续分布的带电体组成的系统：1
2
W udq =
⎰，这时积分遍及所有的带电体。

值得考虑的一个问题：系统中任一带电体（以下记为1）的静电能怎么求？上面提到过，此时带电体的静电能包含两方面，一个是它的自能,1s W ，别一个是其它带电
体对它的作用能,1e W 。

1
,1,1s e W W W =+
11
2
s W u dq =
⎰,其中1u 是带电体1在dq 处产生的电势，1
e W u dq '=⎰，
其中1
u ' 是除1外其它带电体在dq 处产生的电势1111
2W u dq u dq '=+⎰
⎰，两项积分只遍及带电体1。

显然11
2W W udq ≠=
⎰
（这里的积分是遍及所有带电体）。

那么W 的它的结构是什么样的呢？
设该系统由n 个电荷连续分布的带电体组成，i u ，i u '分别为带电体i 、除去i 的其它带电体在i 上电荷元dq 处产生的电势，u 为某一电荷元dq 处的总电势。

11122n
i i W udq udq =∴==∑⎰⎰，而11
()22i i i i i
udq u dq u dq '=+⎰⎰⎰其中积分只遍及
带电体i 。

i i j
i j j i
j i i
i i
u dq u
dq u dq ≠≠'==∑∑⎰⎰⎰其中i j u 是带电体j 在带电体i 的电荷元dq
处产生的电势，显然
,i j
e ij
i
u
dq W =⎰，
,e ij
W 指的是带电体j 与带电体i 之间
的相互作用能，又,1
2i s i i
u dq W =⎰，,s i W 表示的是带电体i 的自能，所以：
,,,,,111
11
()()22n
n n
s i e ij s i e i s i e i i j i i W W W W W W W =≠===+=+=+∑∑∑∑，其只,e i W 是其它带电
体对i 的作用能，e W 是系统的作用能。

5. 带电体的自能与带电体所激发的电场具有的能量之间的关系：
1122
s e V V W w dV D EdV =
=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰积分遍及了电场弥漫的整个空间区域（比如平
行板电容器所具有的电势能与它在两极板间产生的电场能量是相等的）。

定性分析似乎也可以解释5.式：（单一带电荷连续分布的带电体）设想这个带电体由电荷元
}{|1,2,...,i
dq i n =构成，取这些电荷元彼此相距无限远时系统电势能为0。

我们逐一将这
些电荷元移动，直至聚集成带电体的原状，这个过程要克服电场力做功，显然A=s W ，A 是外力所做的功。

这似乎暗示了带电体所激发的电场总能来自构成带电体的那部分能量，即带电体所拥有的自能。

（若干电荷连续分布的带电体系统）也可以类似的分析只不过情况比上述的复杂了点，由
,1
n
s i e i W W W ==+∑我们可以看出：我们让彼此相距无限远的电荷元先各自逐一的聚集成
带电体i （i=1,2,...n ）,这些带电体也是彼此相距无限远的，然后再将这些带电体移至原来的各自的位置，这个过程外力做的功可以分成两部分。

一部分是聚集过程做的功，显然
1,1
n
s i i A W ==∑，另一部分是移动带电体所做的功2e A W =，仍有A W =。