δA' = ∑ u i δQi
注意我们以前用过
i =1
N
dA' = udq(在例三中)
2
三. 一般情况下的静电能 考虑一任意自由电荷体系，其自由电荷体密度为 r ρ e 0 (r ) ，按照原来的观点：
r r 1 We = ∫∫∫ ρ e 0 (r )u (r )dV 2 V
（参阅第2节中体电荷分布的静电能） 下面我们利用矢量分析公式来推导静电能的一般表 达式。 r
r r 1 1 ∴ We = ∫∫∫ ∇ ⋅ DudV = ∫∫∫ u∇ ⋅ DdV 2 V 2 V r r r 利用矢量分析公式： ∇ ⋅ uD = u∇ ⋅ D + D ⋅ ∇u
Q ε0S 1 We Q ∂ ⎛ ε0S ⎞ = =− ⎜ ⎟=− 2 2 2 x 2C ∂x ⎝ x ⎠ 2C x
2 2
Fx前面有个负号表示正极板受到的力是负极板对它 1 2 Q2 的吸引力. We = Cu = r 2 2C F = ( −∇We )Q 单位面积所受的力为： Fx We fx = =− = −ω e Q V = Sx S xS 1 1 2 = - ε0E = − σ eE Q σ e = D = ε0E 2 2
在这个观点的支配下，我们从 We = 1 Qu 出发，推出 r r 2 用电场强度 E 和电位移矢量 D 来表示的We。 设电容器极板间填满均匀各向同性介质，则有： Q = σ e S = DS 和 u = Ed 所以：
1 1 We = DSEd = DEV 2 2
e
V=Sd为两极板间的体积，也就是电场空间的体积。 定义： ω = We = 1 DE 这是单位体积的静电能，或 称作电能密度。 写成矢量形式：
设静电能的变化为 (δWe )Q ，则由能量守恒知：
(δWe )Q
= −δA = −(Fxδx + Fy δy + Fz δz )
物理意义： 在电量Q不变的情况下，静电能所作的功等于静电能 的减少。下标Q表示在求We 的偏导数或梯度时，We 表达 式中的全部Qi应视为常数。 将上式进一步展开，即作全微分得：
∫
∫
式中右式的沿电滞回线的闭合回路 积分正好等于电滞回线所包围的“面 积”。这部分能量既不改变电场，又 不改变电介质的极化状态，而是转 化为热量，使电介质发热。这部分因电滞现象而消耗的 能量，称为电滞损耗，类似于在铁磁体中也会存在磁滞损 耗一样。
§5. 利用静电能求静电力
一般来说，求静电力的方法有三种： （1）利用库仑定律求力，这时必须知道电荷和位置； r r （2 利用定义 F = qE 求力，这时必须已知电场强度； （3）利用静电能求力，该方法也称作虚功原理法。 前2种方法在求力时有时需要进行复杂的积分运算， 特别是当电荷分布或电场分布有待确定，而又难于确定时 r r ，直接从库仑定律或从 F = qE 定义出发求力已很困难， 这时只需求得带电系统的静电能，则用虚功原理法可以很 简便地求出静电力。 一. 虚功原理(简介) 虚功原理是关于力学系统平衡问题的一个普遍原理 ，“理论力学”课程中会介绍，稍微深一些的静力学问题中 也会介绍。
这个结果也是前面已经得到过的结果，只不过在这儿 1 r r 是从能量密度 ω e = D ⋅ E 出发推出来的。 2
（3） 非线性电介质及电滞损耗 对非线性有损耗电介质，显然不可能象在线性无损 耗电介质中那样，极化功全部转换成电介质的极化能。也 就是说，不可能将电源作功全部转化为静电能，这时极化 能密度的表达式将会发生变化。在极化功中只有一部分转 化为极化能，另一部分则转换为热量。 下面以铁电体为例简单叙述一下。 在铁电体中，a ' = da ' = EdP
B．若k闭合，这时已经不再是孤立系统，具体求解 以后再讨论。 三. 非孤立系统 这时导体与外界有联系，比如电路接上了电源等。 一般来说，令电源通过给该系统的导体提供电荷而作 功为 δA' ，则系统的静电能变化为： δWe = −δA + δA' 其中 δA为静电力作功，正如前面介绍的那样。 上式表明，由于δA' 的出现，使得 δA与δWe 的关系复 杂化了。 特例：设通过外接电源使各个导体的电势ui保持恒定 r 。这时，当受力导体有一小位移 δr 时，各导体的电量Qi 不再是常量，而会出现一个微小的变化 δQi 。显然这一变 化来自电源的作用，相应的电源对系统的作功为：
V
1 r r ωe = D ⋅ E 2
2
上式既适合于各向同性的电介质，也适合于各向异性 的电介质。由上式可以看出，静电能确实是以电能密度的 形式贮存于电场之中。
说明
尽管这个式子是由特例即由平行板电容器中均匀电场 推出的，但它是普遍成立的，其和一般情况下推出的公式 完全一致。 当空间电场不均匀时，已知ω e ，由积分公式可算出 总静电能：
⎛ ∂We ⎞ ⎛ ∂We ⎞ ⎛ ∂We ⎞ (δWe )Q = ⎜ ⎟ δx + ⎜ ⎟ δy + ⎜ ⎟ δz ⎜ ∂y ⎟ ∂x ⎠Q ⎝ ⎝ ∂z ⎠Q ⎝ ⎠Q = −(Fxδx + Fyδy + Fzδz )
r ⇒ F = (− ∇We )Q
⎛ ∂W e ⎞ ⎛ ∂W e ⎞ ⎛ ∂W e ⎞ Fy = ⎜ − Fz = ⎜ − Fx = ⎜ − ⎟ , ⎟ , ⎜ ∂y ⎟ , ⎟ ⎝ ∂z ⎠ Q ⎝ ∂x ⎠ Q ⎝ ⎠Q 由上式可以看出，只要给定We 的表达式，根据上式 r 就可以求出静电力 F 或它的某个分量。
[ ( )
]
( )
r r r r 利用高斯公式 ∫∫S A ⋅ dS = ∫∫∫V∇ ⋅ AdV 和 E = −∇u 得：
r r 1 r r 1 We = ∫∫ uD ⋅ dS + ∫∫∫ D ⋅ EdV 2 S 2 V
ρe r r
r
在上式中，积分区域V可以取为包含全部自由电荷的 任意区域。 不妨设V为一球域，球心位于电荷区中任意一点。这 时S为一球面，只要球面半径r足够大，V总能把全部自由 电荷包含在内。如果进一步增大r，使之远大于电荷区的 尺寸，则在球面S上近似有：
r r 1 1 ∫∫SuD ⋅ dS ~ ∫∫ r 2
1 1 Qu ~ , D ~ 2 , r r
S ~ r2
1 当r → ∞时, → 0, 即∫∫ 这项面积分趋于零。 r
也可以换一种说法，即
当r → ∞时, S面上的D和u → 0。
所以此时仍然成立：
r r 1 We = ∫∫∫ D ⋅ EdV 2 V
0
π
∞
R
1 dr 2 r
8πε 0 R
其中
2
ωe =
q2 32π ε 0 r
2 4
(r ≥ R)
dV = r sin θdrdθdφ
这个结果正好与例二所得的结果一致。但是在例二中 是从q和u出发求，这儿是从能量密度出发求，后者更普遍 适用。
1 1 2 1⎛ q ⎞ We = qu = q = ⎜ ⎟ 2 2C 2 ⎝ 4πε 0 R ⎠
在这儿，我们先来分析由N个彼此绝缘的带电导体组 成的带电系统，从中选定一个导体作为受力导体，其余N1个导体作为施力导体，要求确定作用在该受力导体上的 r 静电力 F 。 为此，我们设所有施力导体静止，假想让受力导体 r 作一小位移 δ r ，则静电力所作的功为：
r r δA = F ⋅ δr r r r r r r = (Fx ex + Fy e y + Fz ez )⋅ (δxex + δye y + δzez ) = Fxδx + Fyδy + Fzδz
Q ρ e 0 = ∇ ⋅ D,
( )
r r r 1 1 We = ∫∫∫ u∇ ⋅ DdV = ∫∫∫ ∇ ⋅ uD − D ⋅ ∇u dV r r r 2 V 2 V ∇ ⋅ ( uD ) = u∇ ⋅ D + D ⋅∇u r r 1 1 = ∫∫∫ ∇ ⋅ uD dV − ∫∫∫ D ⋅ ∇udV 2 V 2 V
E=
q 4πε 0 r
2
(r ≥ R)
和
r 1 1 q2 ω e = D ⋅ E = DE = ε 0 E 2 = 2 2 2 32π 2 ε 0 r 4
(r ≥ R)
q We = ∫∫∫ ωe dV = 2 r≥R 32π ε 0 = q
2
2
∫
2π
0
dφ ∫ sin θ dθ ∫
We = ∫∫∫ ω e dV = ∫∫∫
V
V
1 r r D ⋅ EdV 2
式中积分遍及电场所在的全部空间V。
例五． 从电场能量出发，计算孤立带电导体球（电 量为q，半径为R）的静电能。 解： 类似于这种有对称性的带电体，习惯做法是用高斯
r r 定理求 D和E ，写出ωe，然后积分求出We。
由高斯定理可求得孤立带电导体球的电场强度之大 小为：
1 2 Q2 We = Cu = 2 2C
式中 Q = Cu为极板所带电量 的绝对值。 题目中只说充电之后达 到u=V，至于开关k是断开 还是闭合未曾讲明，所以， 下面我们分两种情况来讨论。
A．若k断开，这时极板的电量维持不变，所以：
2 ⎡ ∂ ⎛ Q 2 ⎞⎤ Q ∂C ⎛ ∂We ⎞ Fx = −⎜ ⎟ = −⎢ ⎜ ⎟ ⎜ 2C ⎟⎥ = 2C 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ Q ⎠⎦ Q ⎣ ∂x ⎝
§4. 电场的能量和能量密度
1 一. 从平行板电容器的静电能入手 We = Qu 2 用电荷Q来表示静电能 从这个公式，似乎静电能只能贮存在电荷上，对没 有电荷的空间，即使有电场存在，其静电能也为零。这就 是所谓“超距作用”的观点。 二. 能量储存在哪里? 大量实验事实证明，超距作用的观点是错误的。确切 地讲，静电能应该为电场所具有，电的相互作用是通过具 有能量的电场来传递的。或者说，能量储存在电磁场中。 比如电磁波，可以脱离电荷传播到很远的地方。当我们一 打开电视机，由电磁波携带的能量就从天线输入，经过电 子线路的作用，转化成图像和声音。这个观点在随时间变 化的电磁场中得以证实。