【归纳总结】 1.极坐标系的四要素 ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向. 四者缺一不可. 2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极 径,最终确定点的位置.
特别提醒:若已知点的极坐标(ρ,θ),则点是确定的, 反之,若已知点,则其极坐标不确定.
类型一 极坐标系与点的极坐标
【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一 点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正确表示的序号为____________.
【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离 为2,极角的始边为Ox,终边与平角的终边相同,故点M的 极坐标为(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正确. 答案:②③
(2)在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么 两点间的距离公式 | P1P2 | 12 22－212cos(1－2 ) 的两种 特殊情形为: ①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|; ②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|.
提示:(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原 点,x轴,y轴,极坐标系有极点、极轴. (2)点的直角坐标是有序实数对(x,y),点的极坐标是 (ρ,θ).
2.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?
提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ,θ)都 有唯一确定的点与之对应,但是,对于给定一点M,可以 有无数个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应,果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外的任意一点 都有唯一的极坐标(ρ,θ)与之对应,反之亦然.
3 62
所以S△AOB=1 6 6 18.
2
2.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.
【解析】设线段AB中点M的极坐标为(ρ,θ),
则


6

2 3

5，


6 cos(
2 3

6)

3
2，
2 12
2
故线段AB中点M的极坐标为(3 2，5).
12
【方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距 离公式 (1)在极坐标系中,点的极坐标不唯一,这是由于与角 θ1的终边相同的角的集合为{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}. 如果限定ρ≥0,θ∈[0,2π),那么,除极点外,点与有 序数对(ρ,θ)可以建立一一对应关系.
6
又因为点的极坐标为(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R),
所以点E的极坐标为 (4，2k 7)k Z.
6
同理,点F的极坐标为 (3，2k 2)k Z.
3
类型二 极坐标系中两点间的距离
【典例】在极坐标系中,点O为极点,已知点 A(6， )，
6
B(6，2 )，求|AB|的值.
【典例】在极坐标系中,点P (2，) 到极点的距离为
6
________,点P (2，) 到极轴的距离为________.
6
【解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离? 提示:点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化 为三角函数计算.
【解析】因为在极坐标系中,点P (2，) ,ρ=2,θ= ,所
二 极坐标系 第1课时 极坐标系的概念
【自主预习】 1.极坐标系 (1)取极点:平面内取一个_定__点__O_. (2)作极轴:自极点引一条射线Ox. (3)定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取 弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).
2.点的极坐标 (1)定义:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为 _M_(_ρ__,_θ__)_. (2)意义:ρ=_|_O_M_|_,即极点O与点M的距离(ρ≥0). θ=_∠__x_O_M_,即以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角.
【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)在极坐标系中,
两点 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 间的距离是 ( )
4
12
A. 41 B. 39 C.6
3
【解题探究】根据点A,B在极坐标系中的位置关系,可 得∠AOB为多少度? 提示:∠AOB=90°.
【解析】因为 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故 AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知条件不变,试求△AOB的面积.
【解析】因为 2 故 ∠，AOB=90°,
6
6
以点P到极点的距离为2,点P到极轴的距离为2sin =1.
6
答案:2 1
【方法技巧】确定点的极坐标的方法 点P的极坐标的一般形式为(ρ,θ+2kπ),k∈Z,则 (1)ρ为点P到极点的距离,是个定值. (2)极角为满足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不唯一,其中θ 是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对 值较小的角.
【即时小测】
1.极坐标系中,下列与点(1,π)相同的点为 ( )
A.(1,0)
B.(2,π)
C.(1,2016π)
D.(1,2017π)
【解析】选D.点(1,π)的极径为1,极角为π,由终边相 同的角的概念得,点(1,π)与点(1,2017π)相同.
2.点M的直角坐标是(-1, 3 ),则点M的极点坐标为 ()
2.如图,在极坐标系中,
(1)作出以下各点:
A(5，0)，B(3， )，C(4，3 )，D(2，－ 3 ).
6
2
2
(2)求点E,F的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R).
【解析】(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是 确定的. (2)由于点E的极径为4, 在θ∈[0,2π)内,极角 7，
A.(2， ) 3
C.(2, 2 ) 3
B.(2, ) 3
D.(2, 2k )(k Z) 3
【解析】选C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,
则ρcosθ=x得:cosθ=- ,1
2
结合点在第二象限得:θ= 2,
3
则点M的极坐标为(2，2 ).
3
【知识探究】 探究点 极坐标系 1.平面直角坐标系与极坐标系有什么不同?