出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
1、极坐标系： 在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系. X
11 6
A(-4,0) 5 B(3, 6 ) C(-2, 2 ) D(-1, 5) 3 E(3,- ) 6 ) ( 4, F 3
(, 2k+)
都是同一点的 极坐标. (-, +(2k+1))
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标： (1) P是点Q关于极点O的对称点； (2) P是点Q关于直线 的对称点. 2 (3) P是点Q关于极轴的对称点。
5 6 ° O M(-2, 5) 6 ° O

x
x • •M(-2, 5) M (, ) 6 小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
5 6
2 F 3• B
2
4
•
•DLeabharlann 。 O• A1x
•
5 4 [小结] (, ) C 3 2
•
E
5 3 (-, +)
注意点M的极坐标具有多值性.
思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) 4 2 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 ) (C) (10, - 2 ) (D)(10, 3 3 3
思考？ 平面内一点P的直角坐标是 ( 3 ,1)， 其极坐标如何表示?点Q的极坐标 2 为 (5, )，其直角坐标如何表示？

3、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，

4

M
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？
O X π +2kπ 4， 4
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
2、极坐标系内的点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。 思考: 对比直角坐标系，比较异同。 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 计算角度的正方向 ____________________； O (, ) 表示. (2) 平面内点的极坐标用_____



3
, 0的点M（，）所组成的图形
若（ 3）中的 R，则M表示什么样的图形？
5、关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(<0): 时如何规定 )对应的点的位置？ 当<0时，点 M(,( , )的位置规定： 点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
M X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
数学运用
例1、 如图，写出各点的极坐标：
2 4
5 6
D

• E •
F
•
C
A(4,0) B(3, ) 4 C(2, 2 )
。 O1
• B
• •
A
x
5 D(5, ) 6 E(4.5, )
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M
P (ρ,θ)
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中， （ 1）已知两点P（5、 ），Q（ 1， ），求线段PQ的长度。 4 4 5 （2）已知两点P（5、 ），Q（ 1， ），求线段PQ的长度。 4 ,4 （3）说明满足条件
极坐标系的概念
问题情境
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：校门口有人问你：到北京四中怎么走 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？
情境2：请问到北京四中怎么走？ 请分析这句话，他告诉了问路人什么？ 从 这 向 北 走 4 0 0 米 ！
6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 ) 极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
(5,0)
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
Q ( 2, ), 2、已知极坐标系中两点 P ( 3, ) ， 2 6 如何求线段|PQ|的长？ | PQ | 19
4 3
•
G
5 3
F(6,4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练 ] 建立极坐标系，描出下列点：
4 A(3, 0)、B(6, 2 )、C (3, )、D(5, )、 2 3 5 5 E (3, )、F (4, )、G (6, ) 6 3 [小结]由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点. 思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
x cos , y sin
3
5 5 3 答案： P ( 2, ) Q( , ), 2 2 6

极坐标与直角坐 标的关系
极坐标与直角坐标的互化公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标 (4, )


推广：极坐标系内两点 P( 1 ,1 ),Q( 2 , 2 ) 2 2 的距离公式： | PQ | 1 2 21 2 cos(1 2 )
小
结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x