极坐标系的概念及其性质
典题探究
例1 写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>.
例2在下面的极坐标系里描出下列各点
例3 如图，用点A ，B ，C ，D ，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标
.
(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)
3A B C D E F G ππππππ
例4已知点),(θρQ ，分别按下列要求求出点P 的一个极坐标.
（1）P 是点Q 关于极点O 的对称点； （2）P 是点Q 关于极轴的对称点.
演练方阵
A 档（巩固专练）
A ．(5，−)
B ．(5，)
C ．(5，−)
D ．(−5，−)
A ．(−2，3)
B ．(−2，3)
C ．(2，−3
) D ．(2，−3)
4.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )
A ．),(θρ
B ．),(θρ-
C ．),(πθρ+
D ．),(θπρ-
5.如图，在平面内取一个 O ，叫做 ；自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；在选定一个 及其计算角度的 （通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个 。

6.设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 。

有序数对 叫做点M 的 ，记作 。

7． )6
,
4(π
A 、)65,
4(πB )67,4(πC )6,4(π-D )6
13,4(πE 表示同一个点的是 .
8.写出图中各点的极坐标：
9.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点)3
5,5.3(),43,
4(),6
,2(πππ
F E D 所在的位置.
10．中央气象台在2004年7月15日10：30发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440公里的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置.
B 档（提升精练） 1．已知5,
3M π⎛⎫
⎪⎝⎭，下列所给出的能表示该点的坐标的是( ) A ．⎪⎭⎫
⎝
⎛-
3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛-32,5π D ．55,3π⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
2. 在极坐标系中，与点(－3,
6
π
)重合的点是( ) A.(3, 6π ) B. (－3, －6
π
) C. (3, －56π) D. (－3, －56π)
3.在极坐标系中,与点(－8, 6
π
)关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
A.(8,6π)
B. (8, －56π)
C. (－8,56π)
D.(－8, －6
π
)
4．已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (4，0°), B (－4,－120°), C (23＋2, 30°)，则△ABC 为 . 5．在极坐标系中，点)6
,
5(π
M 关于直线4
π
θ=
的对称点的一个极坐标是 .
6．在极坐标系中，点),(θρ与),(θπρ+的位置关系是 . 7．在极坐标系中，设O 是极点，A 、B 两点的极坐标分别是)3
,
4(π
、)6
5,5(π
-
，则⊿OAB 的
面积是 .
8．在极坐标系中，已知)34,
8(),3,
6(π
π
B A ，则线段AB 中点的极坐标是 .
9．在极坐标系中，求)3,3(πA 与)3
2,1(π
B 两点间的距离.
10．边长为a 的正六边形OABCDE 在极坐标系中的位置如图所示，求这个正六边形各顶点的极坐标.
C 档（跨越导练）
1．在极坐标中，若等边∆ABC 的两个顶点是)4
,2(π
A 、)4
5,
2(π
B ，那么顶点
C 的坐标可能是（ ）
)4
3,
4.(π
A )4
3,
32(πB ),32.(πC
),3.(πD
2．在极坐标系内，点)2
,3(π
关于直线.6
π
θ=
)(R ∈ρ的对称点坐标为（ ）
A （3，0）
)2,3(π
B
)3
2,
3(π-C
)6
11,3(πD
3．若)3
,2(π
-
-P 是极坐标系中的一点，则).3
5,2()..38,2()..32,
2(πππ-M R Q
)3
52,2(π
π-
k N )(Z k ∈四点中与P 重合的点有（ ） A ．1个 B 2个 C 3个 D 4个
4.设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(23，
π43
) B. (π45) C. (3，π45) D. (3，π4
3) 5．点),(θρP 关于直线2
π
θ=
的对称点的一个极坐标是 .
6．在极坐标系中，已知两点)3
2,
1(),3
,3(π
π
B A -，则A ，B 两点间的距离是________. 7．已知两点的极坐标)6
,3(),2,3(π
π
B A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.
8．极坐标系中，点A 的极坐标是)6
,
3(π，则
（1）点A 关于极轴对称的点是_______;
（2）点A 关于极点对称的点的极坐标是___; （3）点A 关于直线2
π
θ=
的对称点的极坐标是________.(规定: )0(>ρ[)πθ2,0∈
9．在极坐标系中，描出点)3
,
2(πM ，并写出点M 的统一极坐标。

10．在极坐标系中，已知△ABC 三个顶点的极坐标为A (2，10°)，B (－4，220°)，C (3，100°)，（1）求△ABC 的面积;（2）求△ABC 的边AB 的的长度.
极坐标系的概念及其性质参考答案
典题探究
例1解： ),6
5,1(),2,3(),4,
2(),0,3(π
ππ
D C B A )35,4(),34,5(),,5.2(πππG F
E .
X
例2解：
例3解：),3
,120(),060(),0,0(πC ，B A )43,50(),2,360(ππE D . 例4解： （1）),(θπρ+；（2）),(θρ-
演练方阵
A 档（巩固专练）
1.【答案】 C[解析]极坐标系中，同一个点，极角可以不同，一个点可由多个极坐标表示．
2.【答案】 A[解析]根据极坐标系的定义判断即可.
3.【答案】 D[解析] 在极坐标系中，与点P (2 ，3
π
)关于极点对称的点的坐标是：(2 ， −
23
π) 4.【答案】 B[解析] 在极坐标系中，与(ρ,θ)关于极轴对称的点的坐标是：与(ρ,-θ)
5.【答案】定点,极点，极轴，单位长度，正方向，极坐标系.
6.【答案】极径，ρ，极角，θ，坐标，(ρ,θ). 7．【答案】A 、E.
8．解:),6
5,5(),2,4(),4,2(),0,4(π
ππD C B A )35,3(),34,5(),,3(πππG F E .
9. 解:)3
4,5(),2,4(),0,1(π
πC B A ，
10．解:以汕尾市为极点，正东方向为极轴建立极坐标系，则台风中心的极坐标为)4
7,440(π
.
B 档（提升精练）
1.【答案】D 2．【答案】C. 3．【答案】A ． 4．【答案】等腰直角三角形. 5．【答案】)3
,
5(π
.
6．【答案】关于极点对称. 7．【答案】5[解析]56
5sin 5421=⨯⨯⨯=πS . 8．【答案】)3
4,
1(π． 9．解：73
cos 1321322=⨯⨯⨯-+=πAB ；
10．解:O （0,0），A （a, 3π-），B a , 6π-），C （2a , 0），D , 6π），F （a , 3
π
）.
C 档（跨越导练）
1.【答案】B ．
2．【答案】D ． 3．【答案】C ． 4．【答案】A[解析] 先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标． 5．【答案】),(θπρ-. 6．【答案】4．
7．【答案】3, 6
5π.[解析]根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600
,即∆AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=6
5π
8. 【答案】（1）11(3,
)6
π; （2）7(3,)6π ;（3）5(3,)6π
. 9．解：点)3
,
2(π
M 的统一极坐标表示式为)3
2,2(π
π+k ，如果允许0<ρ，还可以表示为
)3
)12(,2(π
π+
+-k 。

10． 解：(1)△ABC 的AB 边上的高h=328+ S △ABC =S △OAB ＋S △OBC －S △OAC =2＋33－3=33
－1, (2)|AB |=2325 .。