q V = 4πε o r
9
q .o V = o 4πε o R
q
.o
x
r
R dq
10
圆弧圆心、圆环轴线上的电场？
例题 均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为 σ，求轴线上离盘心距离为x的P点的电势。(取无穷远 为电势零点) 解 将圆盘分为若干个圆环, 利用圆环公式积分。 P
例题 求半径为R、总电量为q的均匀带电球面的电 势分布。 q 解 由高斯定理求出其场强分布:
习题一 7.用总分子数N、气体分子速率v和速率分布函数f(v)表 示 速率大于v0的那些分子的平均速率＝_________ ；
习题二 7. 氢分子的质量为3.3×10－24g，如果每秒有1023个氢分子 沿着与容器器壁的法线成45°角的方向以105cm·s-1的速 率撞击在2.0cm2面积上（碰撞是完全弹性的），则此氢 气的压强为___________ *103 Pa 2.33 2.33* 一个分子碰撞一次动量的变化为
-q
a
R
+q
R o
c
R
将Vo代入功的式子，得
A∞ o = −
q πε o a
q 6 πεo R qqo 6πεo R
8
∴ Aac = −
7
例题 一均匀带电直线段，长为L，电量为q;求直 线延长线上离一端距离为d的P点的电势。(取无穷远 为电势零点) 解 将带电直线分 为许多电荷元dq(点电 荷),利用点电荷电势公 式积分：
∂V ∂V = 0, E z = − =0 ∂y ∂z
17
18
3
例题7.1 两平行金属板A、B，面积S， 相距d， 带电：QA，QB，求两板各表面上的 电荷面密度及两板间的电势差(忽略金属板的 边缘效应)。 解 (σ1+ σ2)S=QA (σ3+ σ4)S=QB P1点: P2点:
σ σ1 σ σ − 2 − 3 − 4 =0 2ε o 2ε o 2ε o 2ε 0 σ σ1 σ σ + 2 + 3 − 4 =0 2ε o 2ε o 2ε o 2ε 0
A B
(σ1+ σ2 )S=QA (σ3+ σ4)S=QB
A
B
s σ2
P1
σ1 σ1 σ 2 σ 3 σ 4 − − − =0 2ε o 2ε o 2ε o 2ε 0
σ σ1 σ σ + 2 + 3 − 4 =0 2ε o 2ε o 2ε o 2ε 0
σ3 σ4
P2
Байду номын сангаас
s σ1 σ2
P1
σ3 σ4 P
P2
例题 设空间电势分布为: V=2xy 2, 求空间电场分 布。 解
Ex = −
q q = 4πε o r 4πε o x 2 + R 2
∂V p ∂x =
x q
r
R
Ex = − Ey = −
1 q⋅x ⋅ 2 4πε o ( x + R 2 )3/ 2
∂V = −2 y 2 ∂x ∂V Ey = − = −4 xy ∂y � � � � � E = E x i + E y j = −(2 y 2 i + 4 xyj )
C 点电势
q1+q2
R3 C r R2
1
Ur =
q1 − q1 q + q2 + 1 + 4 4 π ε R πε o R3 4πεo r o 2
-q1
q1
oR
27
5
∞
-q1
r
q1
oR
U4 = ∫
∞
r
1
q +q q1 + q2 dr = 1 2 4πεo r 4πεo r 2
-q1
q1
两球的电势差：
q1 − q1 q + q2 + + 1 4πεo r 4πε o R2 4πε o R3
U内 − U 外 = ∫
=
25
R2
R1
q1 dr 4πε o r 2
R2 ≤r ≤ R3:
=
q1 q +q − q1 + + 1 2 4πε o R1 4πεo R2 4πε o R3
24
4
R1 ≤r ≤ R２:
q1+q2
r ≥ R3:
R2
q1+q2
R3 R2 oR
1
U2 = ∫
R2
r
q1 dr + 4πεor 2
∫R 0dr
2
R3
R3 r
+
=
∫
q1 + q2 dr R3 4πε r 2 o
(2)电荷分布如图所示,将点电荷qo从a经半园b移 到c的过程中,电场力对qo的功为 -qq (6πε R)。 o o 解 b A = q (V − V )
ac o a c
Va =
Vc =
=
V∞ = 0
V o=
q q ×4= 4πε o a πε o a
+q +q
o
-q +q
−q +q + =0 4πεo R 4πεo R −q +q + 4πε o ( 3 R) 4πε o R
R1
(2)
q1 q2 -q1 d1 -q2 d2
q1+q2
R2 R1
U1 = ∫ 0dr + ∫
r
q1 dr 4πεo r 2
∞
+
q2 d 2 = 2.3 × 10 3V εos
23
∫R
R3
2
0dr +
∫
R3
q1 + q2 dr 4πε o r 2
R3 R2 . -q1 r o R 1
q1
U A = U A − U B=
3 4
B 1 V
5. 理想气体向真空作绝热膨胀 (A) （A）膨胀后，温度不变，压强减小 （B）膨胀后，温度降低，压强减小 （C）膨胀后，温度升高，压强减小 （D）膨胀后，温度不变，压强不变 气体向真空绝热膨胀过程中， 气体没有对外界做功，A=0. Q=0, ∆E = 0 温度不变。 所以压强减小。
r>R: E2 =
(2)电势
∫ Ar ⋅4 π r
0
R
2
dr
=
4πε o r 2
AR 4 4εo r 2
r<R: V1 = r>R: V2 =
∫r
R
E1dr + ∫ E2dr =
R
∞
∫r
∞
E2 dr =
AR 4ε o r
4
A(R3 − r 3) AR3 + 12ε o 4εo
13
例题 一真空二极管，其主要构件是一个半径 R1=5×10-4m的圆筒形阴极A和一个套在阴极外的半径 R2=4.5 ×10-3m的同轴圆筒形阳极B,如图所示。阳极电 势比阴极高U=300伏, 忽略边缘效应， 求:(1)两极间的电场；(2)电子刚从阴极发出时所 受的力；(3)电子到达阳极时的速度。 解 (1) 设内外圆筒单位长度分别带电±λ，由高斯 定理，两极间的电场(例题): R1<r<R2: 1 A E.2 πr.l = ( −λl ) R1
5
Va =
∫a
∞
� � E ⋅ d l & Va =
∫a
零势点
� � E ⋅ dl
V =
外界
∫
带电体
dq 4 πε o r
b a
Va − Vb = ∫ E ⋅ dl
V=
气体 A
真空
B
Aab = q0 (Va − Vb )
q 4πεo r
w a = q 0V a
6
1
例题 (1)正六边形边长a，各顶点有一点电荷，如 图所示。将单位正电荷从无穷远移到正六边形中心o点 的过程中,电场力的功为 -q ( πεoa)。 解 Aab = q(Va − Vb ) +q +q A∞ o = +1(V ∞ − V o ) = - Vo a
σ3
P2
σ4
例题7.2 三块平行金属板，S=200cm 2 , ×10-7C, 不计边 d2=4.0cm, d1 =2.0cm，qA=3.0 =3.0× 缘效应，求B板和C板上的感应电荷及A板的 电势。 解 q1+q2= qA (1)
C A B
UA-UB=UA-UC d
q1 q2 -q1 -q2
E1d 1 = E 2d 2
εo
−λ ∴E = 2πε o r
B
R2
14
两极间的电势差：
λ R ln 2 U AB = ∫ − Edr = R 2πε o R1 U 故电场为 E = R r ⋅ ln 2 R1
R2
1
R1
A
B
R2
(2)电子刚从阴极发出时所受的电场力:
(3)电子到达阳极时的速度。由动能定理：
eU F = eE r = R1 = = 4.37 ×10 −14 N R2 R1 ln 方向沿半径指向阳极B 。 R1
∫
w a = V a dq
W= ∫
=
ro + l ro
q λ dx 4πε o x
R
o
q λ x ro l
16
dx
qλ r +l ln o 4πε o ro
15
� ∂V � ∂ V � ∂ V � E = −∇ V = − i− j− k ∂x ∂y ∂z
根据V= V(x,y,z )，求电场的分布 V=V(x,y,z V(x,y,z) 例题 求半径为R、均匀带电q的圆环轴线上一点 的电势和场强。 P 解 Vp =