基于GARCH模型的沪深300指数收益率波动性分析摘要股票市场的价格波动研究，不仅具有重要的学术意义，而且具有重要的实际意义。

股价的波动给投资者带来了获利的机会。

因此，金融市场的波动性一直以来都是投资者和经济研究人员关注的焦点。

本文以对沪深300指数2005年1月4日到2014年6月11日每个交易日收盘价为原始数据，对其收益率进行了研究分析。

研究结果表明：日收益率序列的波动表现出时变性、突发性和集簇性等特征。

序列分布呈现出尖峰厚尾的特点，并且存在明显的GARCH效应，表明过去的波动对于未来的影响是持久的，同时也是逐渐衰减的。

而且，沪深300指数波动幅度大。

沪深300指数的频繁交易使得股指期货市场具有高流动性，这种高流动性也是造成指数波动的一大成因。

关键字：收益率；ARCH模型；GARCH模型一、前言1.1研究意义股票市场的价格波动研究，不仅具有重要的学术意义，而且具有重要的实际意义。

股价的波动给投资者带来了获利的机会。

投资者可以通过对度量波动率来猜测股市的风险有多大，同时，了解波动性有助于投资者更好的理解和把我股票市场的运行规律，将股价界定在一个可能的范围内，当投资者认识到股价波动的规律，就可以帮助其做出明智的投资，以获取更多的利益。

因此，金融市场的波动性一直以来都是投资者和经济研究人员关注的焦点。

1.2 研究对象和方法沪深300指数是由上海和深圳证券市场中选取300只A股作为样本编制而成的成份股指数。

沪深300指数选取规模大、流动性好的股票作为样本, 覆盖了沪深市场六成左右的市值,具有良好的市场代表性，所以有必要对其进行深入分析。

本文以中国金融期货交易所的沪深300指数2005年1月4日到2014年6月11日每个交易日收盘价为原始数据，共2288个数据样本。

就沪深300指数收益率的波动性研究方法而言，国内外的研究结果表明，许多金融时间序列都将GARCH模型作为解释金融数据的经验方法。

因此，本文采用GARCH模型检验沪深300指数日收益率的波动性变化，希望可以发现沪深300指数的波动性特征。

二、GARCH模型介绍2.1 ARCH模型ARCH模型由Engle（1982）提出，并由Bollerslev（1986）发展成为GARCH-广义自回归条件异方差。

这些模型广泛的应用与经济性的各个领域，尤其是金融时间序列中。

ARCH的核心是(1)式中t时刻的随机误差项ε的方差（σ2）依赖于t-1时刻的平方误差的大小，即依赖于ε2t−1。

Y t=β0+β1X1t+⋯+βk X kt+εt (1)并假设在t-1时刻所有信息的条件下，干扰项的分布是：εt~N0,α0+α1ε2t−1 (2)即εt遵循均值为0，方差为α0+α1ε2t−1的正态分布。

由于（2）式中的εt的方差依赖于前期的平方干扰，我们称之为ARCH（1）过程。

将该模型加以推广，ARCH（p）过程可以写成：Varεt=σ2t=α0+α1ε2t−1+⋯+αpε2t−p (3)如果误差方差中没有自相关，就会有H0：α1=α2=⋯=αp=0。

此时Varεt=σ2t=α0，从而得到误差项同方差的情形。

Engle表明容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：ε2t=α0+α1ε2t−1+⋯+αpε2t−p (4)其中，εt表示从原始回归模型（1）估计得到的OLS残差。

2.2 GARCH（1,1）模型在标准化的GARCH(1,1)模型中：y t=x tγ+εt (5)σ2t=ω+αε2t−1+βσ2t−1 (6)(5)式给出了均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。

由于σ2t是以前一期的信息为基础的预测方差，所以他被叫做条件方差。

(6)式给出的条件方差方程是一个下面三项的函数：①均值：ω②用均值方程的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性：ε2t−1ARCH项③上一期的预测方差：σ2t−1（GARCH项）GARCH（1,1）是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一个1）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二个1）。

普通的ARCH模型是GARCH模型的特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说明。

三、基于沪深300指数的实例研究3.1基本统计特征分析本文以中国金融期货交易所的沪深300指数2005年1月4日到2014年6月11日每个交易日收盘价为原始数据，共2288个数据样本。

为减少误差，在估计时，根据每个交易日的收盘价对日收益率进行自然对数处理，即将收益率根据以下公式进行计算：r=log⁡(p t/p t−1)，即得到沪深300指数收盘价对数的一阶差分。

通过R软件，画出日对数收益率线形图（图1）。

图1 沪深300指数日收益率波动图由图1可以看出日收益率的波动表现出时变性、突发性和集簇性等特征。

通过计算沪深300指数收益率序列的均值，标准差，极差，偏度和峰度等基本统计数据，得出下表：表1：沪深300指数收益率的基本统计情况均值标准差极差偏度峰度图2 沪深300指数日收益率直方图通过R软件得到沪深300指数日收益率直方图（图2），图中蓝色虚线表示收益率的核密度曲线，红色实线表示正态分布曲线。

由表1可知，沪深300指数日收益率偏度为-0.3366，其分布是左偏的，其峰度为5.9144，远高于正态分布的峰度值3。

结合图2我们可以看出，收益率具有尖峰后尾的特征。

并结合shapiro-wilk正态性检验的结果（p值<2.2e-16）可知，收益率不服从正态分布，即利用所用基于正态分布统计方法对收益率序的检验均失效。

3.2平稳性检验通过R软件画出沪深300指数日收益率的自相关图和收益率的偏自相关图，见图3，图4.图3：沪深300指数日收益率自相关图图4：沪深300指数日收益率偏自相关图图中的横轴lag表示滞后阶数，纵轴表示对应各阶的相关系数，0阶滞后表示对自身的自相关系数，对应的相关系数值为1，图中上下的蓝色虚线内为95%的置信区间，当lag>0时，如图所示，对应的相关系数基本均在该区间内，即日收益率的自相关性问题不严重，不存在显著的自相关。

平稳性检验最常用的方法为单位根方法，运用R软件，对日收益率进行单位根检验，检验结果如下（表2）：表2：日收益率单位根检验Value of test-statistic is: -34.2123 390.1603 585.2404Critical values for test statistics:1pct 5pct 10pcttau3 -3.96-3.41 -3.12phi2 6.09 4.68 4.03phi3 8.27 6.25 5.34从单位根检验结果可看出：在1%,5%,10%三个显著性水平下，单位根检验的临界值分别为-3.96，-3.41，-3.12，t检验统计量值-34.2123，小于相应临界值，从而拒绝原假设，表明沪深300指数收益率（RSH000300）不存在单位根，是平稳序列，即服从I(0)过程。

3.3 ARCH 效应检验3.3.1滞后阶数的选择以及均值方程的确定本文采用时间序列的模型分析，因此要先对收益率的自回归的滞后阶数进行选择。

沪深300指数收益率r t 的均值方程都采用如下形式：r t =c 0+ c i r t−i ni =1+ϵt分别对滞后1、2、3、4、5期进行回归，结果如下表3所示：表3：滞后1、2、3、4、5期回归结果AIC -11799 -11798 -11800 -11803 -11801根据AIC 最小原则可以看出滞后4期为最优，故选择滞后阶数为4，则公式可以写成：r t =c 0+c i r t −14i =1+ϵt3.3.2残差序列自相关检验通过R 做日收益率序列的残差和残差平方自相关图，见图5，图6。

图5：沪深300指数日收益率残差自相关图图6：沪深300指数日收益率差平方自相关图从序列残差图中可以看出，相关系数基本落入蓝色虚线（95%置信区间）内，即表明：沪深300指数日收益率残差不存在显著的自相关。

而从残差平方图中可看出，相关系数都没落入蓝色虚线（95%置信区间）内，即表明：沪深300指数日收益率的残差平方有显著的自相关，显示出ARCH效应。

对沪深300指数日收益率做残差平方线性图，见图7：图7：沪深300指数日收益率残差平方线性图。

从残差平方线性图可以看出，回归方程的残差ϵi2的波动具有“成群”现象，即：波动在一些较长时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大，即具有明显的时间可变性和集簇性，这说明残差序列可能存在高阶 ARCH 效应，适合用GARCH类模型来建模，而且可以观察到股指期货上市这一年的波动性明显减弱。

3.3.3对残差进行ARCH检验运用R软件对序列线性回归的残差作ARCH效应检验图，见图8：图8:ARCH效应检验图从图中可以看出，所有的圆圈都在红线内，即在95%的置信区间内，说明残差具有ARCH效应，可以采用GARCH模型来拟合数据。

3.4 GARCH(1,1)模型拟合通过R软件对残差序列进行GARCH（1,1）模型拟合，得到如下结果：表4：GARCH(1,1)模型参数估计Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)omega 2.117e-06 7.780e-07 2.721 0.0065alpha1 4.324e-02 6.892e-03 6.274 3.52e-10beta1 9.502e-01 7.859e-03 120.910 < 2e-16Log Likelihood: 6129.057AIC -5.357287通过表4可知，GARCH(1,1)方程为：σt2=2.117×10−6+0.043μt−12+0.95σ2t−1而且方程中系数的都是统计显著的，并且alpha1和beta1是高度显著的，表明收益率序列具有显著的波动集簇性。

而且，alpha1+beta1=0.99344<1，满足参数约束条件。

同时，由于系数之和非常接近于1，表明一个条件方差所受的冲击力是持久的，即它对所有的未来的预测都有重要的作用。

因此，GARCH（1,1）过程是平稳的。

四、总结本文以沪深300指数2005年1月4日到2014年6月11日每个交易日收盘价为原始数据，计算沪深300指数的日对数收益率，接着通过对收益率的基本统计特征及平稳性进行分析，并对自回归模型残差序列进行检验，发现其具有较强的ARCH效应，最后建立GARCH（1,1）对其进行拟合。

得出以下结论：（1）沪深300指数收益率序列具有显著的波动集簇性。

充分说明我国股市投机氛围浓厚，投资者的短期投资偏好明显。

（2）沪深指数收益率存在明显的GARCH效应。

说明过去的波动对于未来的影响是持久的，同时也是逐渐衰减的。