学号 1330101009毕业论文对概率积分解法的研究和讨论院（系）名称：书信学院专业名称：数学教育学生姓名：李建鹏指导教师：杜争光二○一五年摘要：文章给出了计算概率积分2xe dx∞--∞⎰的几种简便的计算方法；对以后概率积分的研究和应用具有较好的帮助。
关键词：格林公式；奥高公式；重积分；含参变量概率积分2xe dx∞--∞⎰是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。
而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。
目录方法一：二重积分法 (1)方法二：三重积分法 (1)方法三：线积分法 (2)方法四:面积分法 (3)方法五:含参变量的无穷积分法 (4)方法六：二重积分证明法 (6)参考文献： (8)致谢: (9)对概率积分2x edx∞--∞⎰解法的研究和讨论概率积分2x edx ∞--∞⎰是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。
而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。
方法一：二重积分法现有连续函数22()(,)x y f x y e-+=在正方形区域:(;)D a x a a y a -≤≤-≤≤；圆域2221:()R x y a +≤；圆域：2222:(2)R x y a +≤上的二重积分分别为12,,I I I ，即：22222()()2()a aax y x y x aaa DI ed x d y d x ed ye d x -+-+----===⎰⎰⎰⎰⎰222212()10.(1)ax y r aR I ed x d y d re d r e πθπ-+--===-⎰⎰⎰⎰2222222()220.(1)ax y r a R I edxdy d r e dr eπθπ-+--===-⎰⎰⎰⎰（用极坐标）同时又因：12I I I ≤≤,故有12lim lim lim a a a I I I →∞→∞→∞≤≤，即有22lim()at aa e dt π--→∞=⎰，从而2x edx π∞--∞=⎰[]4方法二：三重积分法首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无穷的情况。
再设XOZ 平面上的曲线2x Ze-=绕Z 轴旋转一周得到的曲面22()x y Z e-+=与平面XOY 围成的体V 。
显然，一方面，该体的体积22()22()xy e x vV dxdydz dx dy dz e dx -+∞∞∞--∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰另一方面，根据旋转体的体积公式有：1112()ln V s X dz x dz dz πππ===-=-⎰⎰⎰，1100lim ln lim(ln )|c cc c zdz z z z ππ→→=-=⎰故有2x e dx π∞--∞=⎰。
方法三借用直观的几何意义获释，体现了数学方法的多样性。
方法三：线积分法假定曲线21:x C y e-=与2:C x 轴相交于无限远处，设由闭曲线12C C +围成的闭区域,由格林公式有：区域G 的面积1212Gc c s dxdy xdy ydx +==-⎰⎰⎰ ，又面积2x s edx∞--∞=⎰，所以有212122211()221(2)2x c c c x x e dx xdy ydx xdy ydx xdy ydxx e dx e dx ∞--∞∞---∞=-+-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰（21:x c y e-=从（,0+∞）到（,0-∞））从而有：22222001222x x x u e dx x e dx x e dx ue du ∞∞∞∞-----∞-∞===⎰⎰⎰⎰ (换元2x u =)=3()2Γ（参变量积分）=111()222πΓ=（利用1()2πΓ=）即有：2x edx π∞--∞=⎰[]3方法三借助线积分，格林公式及参变量积分等基本知识，简捷明了，富有新意方法四:面积分法假定曲面22()1:x y S z e-+=与2:S xoy平面相交于无限远处，设闭曲面12S S +围成闭体V 。
由奥高公式，闭体的体积1213Vs s V dxdydz xdydz ydxdz zdxdy +==++⎰⎰⎰⎰⎰ ，由方法二知从而有：22()x V edx ∞--∞=⎰22()x edx ∞--∞⎰=1213s s xdydz ydxdz zdxdy xdydz ydxdz zdxdy +++++⎰⎰⎰⎰=113s xdydz ydxdz zdxdy ++⎰⎰设曲面1S 在,,xy xz yz 平面上的投影区域分别为12,,D D D ,则有：22()x edx ∞--∞⎰=221222()12ln 2ln 3x y D D D z x dxdz z y dydz e dxdy -+⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然有：1222ln ln D D z x dxdz z y dydz--=--⎰⎰⎰⎰和222()2()x y x Dedxdy edx ∞-+--∞=⎰⎰⎰故有2122)2ln x D edx z x dxdz ∞--∞=--⎰⎰⎰1ln 20ln 2ln zzdy z x dx ---=--⎰⎰1ln 2004ln zdz z x dx -=--⎰⎰而ln 22ln 00ln ln (ln arcsin )|22ln zz x z x z x dx z x z-----=--+-⎰ln 4z π=-故有 2120()4(ln )4x edx z dz ππ∞--∞==⎰⎰即：2x edx π∞--∞=⎰[]2方法五:含参变量的无穷积分法2x J e dx +∞-=⎰已知22lim(1)x nn x en--→∞=+ 讲欲求的积分写成220lim(1)x nn x J edx dx n +∞+∞--→∞==+⎰⎰0A ∀>，函数2(1)n x n -+在[]0,A 上连续，当n 增加时，函数2(1)nx n -+单调减少，且22lim(1)n x n x e n --→∞+=是连续函数。
[]0,x A ∀∈,有2210(1)1n x n x -<+≤+，而2x edx+∞-⎰收敛。
所以20(1)nxdxn -+∞+⎰关于n 一致收敛，于是积分号与极限可以交换次序，即2200(1)lim(1)nnn x x dx dxn n -+∞+∞-→∞+=+⎰⎰20lim (1)n n dx x n +∞→∞=+⎰设,x nt dx ndt ==，有20lim (1)n n dt J n t +∞→∞=+⎰再设2cot ,sin dyt y dt y ==-,有2220lim sin n n J n ydyπ-→∞=⎰由牛顿-莱布尼茨公式和定积分还原公式，有(23)!!lim (22)!!2n n J n n π→∞-=∙-已知沃利斯公式[][]22(22)!!1lim 212(23)!!n n n n π→∞-∙=+-将此式分子、分母上下调换位置，再在等式两端开平方，有(23)!!22lim21(22)!!n n n n ππ→∞-+==-于是2(23)!!lim (22)!!2x n n J e dx n n π+∞-→∞-==∙-⎰(23)!!lim 21(22)!!221n n n n n n π→∞-=+∙∙-+21222πππ=∙∙=即22x J edx π+∞-==⎰[]1方法五是利用重积分的方法，结合图形对概率积分2x edx ∞-⎰进行了较为详细的证明。
方法六：二重积分证明法22x e dx π∞-=⎰证明：已知无穷积分2x e dx∞-⎰收敛，有2x edx ∞-⎰=2lim x a e dx+∞-→∞⎰为了计算2x edx ∞-⎰，我们首先计算20lim (1)nn dtJ n t +∞→∞=+⎰。
因为22()x edx ∞-⎰2200()()aa x y e dx e dy --=⎰⎰22()x y Dedxdy -+=⎰⎰其中(0,0)D x a y a =≤≤≤≤是正方形区域。
设12,D D 分别是以a 和2a 为半径，圆心在原点位于第一象限那部分圆域，如图：因为(,)x y ∀，有22()0x y e-+>，12D D D ⊂⊂,所以有22222212()()()x y x y x y D DD edxdy e dxdy edxdy-+-+-+≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据二重积分坐标变换：cos ,sin x r y r ϕϕ==。
则1|(,)|0,0|2D r r a πϕϕ=≤≤≤≤2|(,)|02,0|2D r r a πϕϕ=≤≤≤≤于是22221()20()(1)4ax y r a D edxdy erdr d eππϕ-+--==-⎰⎰⎰⎰222222()220()(1)4ax y r a D edxdy erdr d eππϕ-+--==-⎰⎰⎰⎰即222220(1)()(1)44aa x a eedx eππ----≤≤-⎰当a →+∞时，则有22lim()4ax a edx π-→∞=⎰即有概率积分22x edx π+∞-=⎰[]1s 以上几种方法既给了我们计算概率积分的具体方法，同时也从另一角度揭示了微积分知识间的本质联系，无疑对我们学好课程是大有益处的。
参考文献：[]1刘玉琏傅沛仁《数学分析讲义》2008年4月第五版[]2李银奎概率积分的计算[]3费定晖周学圣《数学分析习题集》第二版[]4/201510致谢:本文能够顺利完成,感谢老师的热心指导．三年的大学生活即将结束,感谢师范学院数学系三年来对我的教育与帮助,大学的学习生活将会是我人生扬帆起航的重要的基石!。