第二节Wilcoxon符号秩检验
Wilcoxon符号秩检验
符号检验只用了差的符号，但没有利用差值的
大小。
1
2 3Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxon signed-rank test) 把差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加作为其检验统计量。
显然，相比较于符号检验，Wilcoxon符号秩检验利用了更多的信息。
Wilcoxon符号秩检验：条件
u Wilcoxon符号秩检验需要一点总体分布的性质；它要求假
定样本点来自连续对称总体分布；而符号检验不需要知道
任何总体分布的性质。
u在对称分布中，总体中位数和总体均值是相等的；因此，
对于总体中位数的检验，等价于对于总体均值的检验。
u Wilcoxon符号秩检验实际是对对称分布的总体中位数（或
均值）的检验。
Wilcoxon符号秩检验：基本原理
u计算差值绝对值的秩。
u分别计算出差值序列里正数的秩和（W+）以及负数的秩和（W-）。
u如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。
如果W+和W-过大或过
小，则说明原假设不成立。
u将正数的秩和或者负数的秩作为检验统计量，根据其统计分布计
算p值，从而可以得出检验的结论。
具体步骤
设定原假设和备择假设。
分别计算出差值序列中正数的秩和W+以及负数的秩和W-。
根据W+和W-建立检验统计量，计算p值并得出检验的结论。
在双侧检验中检验统计量可以取为W=min(W+,W-)。
显然，如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。
如果二者过大或过小，则说明原假设不成立。
秩的计算注意问题
计算差值绝对值的秩时，注意差值等于0值不参与排序。
下面一行R i就是上面一行数据Z i的秩。
Z i159183178513719 R i75918426310
数据中相同的数值称为“结”。
结中数字的秩为它们所占位置的平均值
Z i159173178513719 R i758.518.5426310
关于P值
u有了检验统计量W，我们就可根据其统计分布计算p值了，双侧
检验的p值等于，式中w为检验统计量的样本观测值。
W的统计分布比较复杂，小样本时应使用精确检验的结果或者查
专门的表格，大样本（n>50）时可以按照正态分布进行近似计算。
u左侧检验时（备择假设为差值总体的中位数<0）检验统计量可
以取为W=W+，右侧检验时（备择假设为差值总体的中位数>0）
检验统计量可以取为W=W-。
这时检验中的p值等于P(W w)。
u由于W+与W-的对称性(W++W-=n(n+1)/2)，检验统计量的取法也
可以不同于以上设置。
案例
下面是10个家庭一年的教育支出占
一年的总消费支出的比例（%），
数据以升序排列。
有人估计，家庭
消费中教育支出占比的中位数为
8%，这种说法是否可靠？
家庭12345678910比例% 4.12 5.817.639.7410.3911.9212.3212.8913.5414.45
秩符号
4.12 3.885-
5.81 2.193-7.630.371-
9.74 1.742+
10.39 2.394+
11.92 3.926+
12.32 4.327+
12.89 4.898+
13.54 5.549+
14.45 6.4510+秩和W-=9 W+=46
检验统计量W=W-=9
P值=0.06445
对a=0.05不能拒绝原假设如果使用符号检验
S-=3 S+=7
检验统计量S=S-=3
P值=0.34375
对a=0.05不能拒绝原假设
Wilcoxon符号秩检验不但利用了符号，还利用了数值本身大小所包含的信息。
当然，Wilcoxon符号秩检验需要关于总体的对称性和连续性的假定，在这样的假定下， Wilcoxon符号秩检验比符号检验更加有效，如果对称性不成立，还是符号检验更有效。
u在大样本的情况下，n太大而无法查表时，可用正态近似。
u由此可以构造大样本渐近正态统计量，其公式为：
u计算出Z值后，可由正态分布表查出p值。
R实现
R软件中，关于中位数的wilcoxon符号秩检验可以使用wilcox.test()函数。
以上一案例为例，假定样本数据为x，原假设为中位数是8，则双边检验的命令为wilcox.test(x-8)。
对于右侧单边检验1：>8，用命令wilcox.test(x-8,alt=“greater”)。
对于左侧单边检验1：<8，用命令wlicox.test(x-8,alt=“less”)
> x<-c(4.12,5.81,7.63,9.74,10.39,11.92,12.32,12.89,13.54,14.45)
> wilcox.test(x-8)
Wilcoxon signed rank test
data: x - 8
V=46, p-value=0.06445
altrnative hypothesis: true location is not equal to 0。