2t2 xt 3t2 x2 6xt 9t2
x2 8t2 5xt 此解法关键之处是找到直线 x 3t c ，偏微分方程转化为
常微分方程。直线 x 3t c 称为一阶偏微分方程（1）的特征线
uut(
3ux x t, 0 t, x, 0) x2, x
x
(1) (2)
由方程（2）
99
u(x, 0) x2
得
x2 2 x2 1 x2 g(x), 99
即
8 x2 g(x),
所以
9
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x 8 (x 3t)2,
99
9
2 x2 1 x2 3 tx 8 (x2 6x 9t2 ), 9 9 99
x2 5tx 8t2.
例1 求解线性方法Cauchy问题
uut(
3ux x t, 0 t, x, 0) x2, x
x
(1) (2)
解 方程（1）的左端 ut 3ux 是 u(x,t) 的一阶偏导数的线性
组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为 u(x,t) 关于t的全
导数。
du dt
ut
uxx
x
定义1 考虑下面一阶线性微分方程
aut bux cu f
4
其中 a 、b、c 和 f 均为自变量 x 、t 的函数。
方程
a dx b 0
5
dt
称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。
注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数
c，即为特征线的初始值x(0) 。当参数 c x(0) 在x 轴滑动时，
dt
的特征线就是下面问题的解
dx
x
cos t
0, t
0
dt
x(0)
解之可得 x esint。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为
du dt
ut
(x cos t)ux
0, t
0
u(0) u( , 0)
1
1 2
易得该问题的解为
1
u 常数 u(0) 1 2
8
最后，由特征线方程 x esint解出 xesint , 将其代入到
有
3u 3(u u ) 3u
ut 3ux x t
43 .
所以
3u
4
3
.
3
即
u
4
9
1.
9
对 两边积分，可得
u 22 1 g( ),
99
其中，g() 为一个可微函数。
由
u( ,) 2 2 1 g( ),
99
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x g(x 3t),
则
ut ut ut au au
utt a(ut ut ) a(ut ut )
a(au au ) a(au au )
a2 (u 2u u ) ux ux ux u u
utt a2uxx
4a2u
uxx u 2u u
则（1）式变为
u 0
积分此方程，可得
x
(1) (2)
也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换
x 3t, x.
则 ut u t u t u (3) u 0 3u ,
ux u x u x u 1 u 1 u u
即 ut 3u , ux u u , t , x .
代入
3
ut 3ux x t
特征线族
dx dt
2
a2
0
(3)
即
dx a 0, dx a 0
dt
dt
1 a2k 2 0, k 1
1
1a
可得
t a x c1,t a x c2
x at c1, x at c2
（3）称为特征方程
dx dt
2
a2
0
(3)
做变量代换 x at x at
t
在这条直线 x 3t c 上，即 x c 3t ，在这个直线上，上述
定解问题转化为
du 4t c, 0 t dt
(3)
u(0) u(x(0), 0) x2 (0) c2
解之，得
u 2t2 ct c2 又 x 3t c ，则
u 2t2 (x 3t)t (x 3t)2
u f1( )
u f1( ) g() f ( ) g() 其中f、g是两个任意函数，将变量 , 还原成x和t得
u(x,t) f (x at) g(x at)
由方程
utt u(x,
a2uxx 0, x ,t
特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质 是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使 其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是 求解非线性方程的一种有效方法。
第一节、一阶偏微分方程特征线法
一、特征线法
结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想 和求解方法。
特征线 x 3t c 是方程 dx 3 0 的解，方程
dx 3 0
dt
称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。
dt
沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特
征线法的基本思想。
对定解问题（1）（2）
uut(
3ux x t, 0 t x, 0) x2, x
,
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。
为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住：
x(0) , 变化相当于 x(0) 在 x 轴上滑动。
例2 求解线性方法柯西问题
ut (x cos t)ux 0,t 0, x
(6)
u(x,
0)Leabharlann 1 1 x2,x
(7)
解 方程(6)式的特征方程为 dx x cos t 0, 而过点 ( , 0)
(8)式中便得(6)式-(7)式的解为
u(x,
t)
1
1 x 2e2 sin t
第二节、一维波动方程的特征线法
考虑弦振动方程的Cauchy问题
utt u(x,
a2uxx 0, x ,t
0) (x),ut x, 0) (x),
0
x
(1) (2)
这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。
特征线法
本章中心内容
特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程
Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双
曲型偏微分方程组的似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地 为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在 一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。