第1章 绪 论
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
·6·
第1章 绪 论
杆的横截面积. 由Newton第二定律, 得
= sup
x∈R1 ,t>0
1 n
en2
t
sin
nx
= sup
t>0
1 n
en2
t
1 n
en2
→
∞,
所以原定解问题的解是不稳定的.
1.3 补充习题解答
1.5 由流体力学知,理想流体的完整方程组由Euler型运动方程
1.3 补充习题解答
·5·
ρvt + ρ(v · ∇)v + ∇p = F ,
(1.3.1)
1.2 习 题 解 答
1.1 长为L的均匀细杆, 侧面绝缘,一端温度为0,另一端有恒定热源q进入(即单
位时间内通过单位截面积流入的热量),
杆的初始温度分布为
1 2
x(L
−
x),
试写出相
应的定解问题.
解
杆的初始温度分布是
1 2
x(L
−
x),
即初始条件为
u(x, 0)
=
1 2
x(L
−
x).
由杆的一端温度为零,得边界条件
∂2u¯ ∂t2
=
(p(x
+
∆x, t)
−
p(x, t))S,
其中p(x, t)表示x点的截面上于t时刻沿x轴方向所受到的应力. 显然, 当∆x → 0时,
有u¯ → u和
p(x
+
∆x, t) − p(x, t) ∆x
→
∂p ∂x
.
因此
ρ
∂2u ∂t2
=
∂p ∂x
.
由Hooke定律, 应力和相对伸长成正比. 所以
vt
=
−
γp0 ρ0
∇S.
(1.3.7)
而由式(1.3.5)和式(1.3.7)得
Stt − a2∆S = 0,
(1.3.8)
这就是声波方程,
其中a2
=
γp0 ρ0
.
1.6 一均匀细圆锥杆, 用均匀材料制成, 质量密度为ρ, 杆材料的杨氏模量为E,杆
上各点的纵方向位移为u(x, t).试证明杆做纵向微振动的方程为
·4·
第1章 绪 论
utt
=
T ρ
uxx
−
k ρ
ut.
因此,所求的定解问题是
utt
=
T ρ
uxx
−
k ρ
ut,
u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = 0, u(0, t) = 0, (T ux + ku)
= 0,
x=L
0 < x < L, t > 0, 0 x L, t 0.
1.3 考虑在正方形区域Ω = {(x, y)|0 < x < 1, 0 < y < 1}上的波动方程的边值
数法、能量积分方法、变分方法等. 本书主要使用前面五种方法. 1.1.3 数学物理方程的导出
1. 建立(导出)方程的步骤 (1) 从所研究的系统中划出一部分,分析邻近部分与这一小部分的相互作用； (2) 根据物理学的规律,比如Newton第二定律、能量守恒定律等,以数学式子表 达这个作用； (3)化简整理即得所研究问题的偏微分方程. 2. 建立(导出)方程时常用到的物理学定律 (1) Newton第二定律(F = ma). (2) Fourier实验定律(即热传导定律). 当物体内存在温差时,会产生热量的流动. 热流强度q (即单位时间内流过单位 横截面的热量)与温度的下降率成正比, 即
解
设p0和ρ0
为空气在平衡状态下的压力和密度,
并记S
=
ρ
− ρ0 ρ0
,
即ρ
=
ρ0(1 + S). 为方便起见,假设外力为零.由于声波在空气中传播时, S和v 都是很小的
量,即ρ ≈ ρ0. 于是式(1.3.1)和式(1.3.2)中的二次项均可忽略, 即式(1.3.1)变为
vt
=
−
1 ρ
∇p,
(1.3.4)
而式(1.3.2)变为
ρt + ρ0∇ · v = 0, 即 St + ∇ · v = 0.
(1.3.5)
声波的传播过程是绝热的,绝热过程的物态方程(1.3.3)是p = p0(1 + S)γ,它可以 近似为线性函数
p = p0(1 + γS),
(1.3.6)
其中γ为定压比热与定容比热的比值.由式(1.3.4)和式(1.3.6),得
第1章 绪 论
(4) 热量(质量)守恒定律. 物体内部温度升高所需要的热量(浓度增加所需要的质量)等于流入物体内部 的净流热量(质量)与物体内部的源所产生的热量(质量) 之和. (5) 费克(Fick)定律(即扩散定律). 一般地说, 由于浓度的不均匀,物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移.这种 现象叫扩散. 在气体、液体、固体中都有扩散现象. 粒子流强度q (即单位时间内流过单位面积的粒子数)与浓度的下降率成正比.即
在弹性限度内,弹性体的弹力和弹性体的形变量成正比, 即f = −kx, 其中k为 弹性体的劲度(倔强)系数, 倔强系数在数值上等于弹性伸长(或缩短)单位长度时的
弹力, 负号表示弹力的方向和形变量的方向相反.
另外, 有
应力 = 杨氏模量 × 相对伸长.
3. 定解条件和定解问题的写出(导出)
要想将一个具体的物理过程完整地翻译成数学语言, 必须写出它的定解问题： 包括泛定方程和定解条件(初始条件、边界条件、相容性条件). 泛定方程只能反映 和描绘同一类现象的共同规律. 对于一个具体的物理问题,还必须通过定解条件来 反映.而要正确写出定解条件,必须注意以下几方面的问题：
q = −K∇u,
其中K为扩散系数,负号表示浓度减少的方向.写成分量的形式为 qx = −Kux, qy = −Kuy, qz = −Kuz.
(6) Gauss定律.
通过一个任意闭合曲面的电通量,等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电量
的ε−1倍, 即
∂Ω
E
·
dS
=
1 ε
ρdΩ ,
Ω
其中ε为介电常数, ρ为电荷密度. (7) 胡克(Hooke)定律.
ρS∆x
∂2u¯ ∂t2
=
P (x
+
∆x, t)S(x
+
∆x)
−
P (x, t)S(x)
=
∂ ∂x
(P
S
)∆x,
其中P (x, t) 是在x点的截面S(x) 上于t时刻沿x轴方向所受到的应力. 令∆x → 0, 得
ρS
∂2u ∂t2
=
∂ ∂x
(P
S),
(1.3.10)
而由Hooke定律,
得P
=
E
∂u ∂x
=
1 c
E
tt.
又将∇×作用于(1.3.12)中第二个方程,得
∇
×
∇
×
E
=
−
1 c
∇
×
Ht,
即
∇(∇
·
E)
−
∆E
=
−
1 c
∇
×
Ht,
那么由方程组(1.3.12)中第一个方程,得
同理,可证得第二个电磁波方程
Ett = c2∆E.
Htt = c2∆H.
1.8 导出弹性杆的微小纵振动方程.这里设杆的杨氏模量为E(x), 质量密度为ρ(x),
p
=
E
∂ ∂
u x
,
其中比例系数E为杨氏模量. 对于均匀杆, E 为常数. 所以杆的微小纵振动方程为
ρ
∂2u ∂t2
=
E
∂2u ∂x2
.
·8·
第1章 绪 论
图1.3
图1.4
1.9 一长为L的柔软匀质轻弦,一端固