2 2 a2 b2＋c2 c2＋a2 a2＋b2 b c ＋ ＋ 2 b＋c c＋a a＋b≥ b＋c ＋ c＋a ＋ a＋b .
证明 由对称性，不妨设 a≥b≥c>0， 于是 a＋b≥a＋c≥b＋c， 1 1 1 故 a ≥b ≥c ， ≥ ≥ ， b＋c c＋a a＋b
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7. 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题 . 证明 时，它的两个步骤缺一不可 . 它的第一步 ( 归纳奠基 )n ＝ n0 时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推
得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理
的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成 立.
等式和贝努利不等式，会用贝努利不等式证明有关的简单
问题.
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知识结构
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知识梳理
1.二维形式的柯西不等式
2 2 (1)定理 1(二维)：设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则(a2 ＋ a )· ( b 1 2 1 2 ＋b2 ) ≥ ( a b ＋ a b ) 2 1 1 2 2 ，上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.
2 2 2
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由排序不等式得： a2 b2 c2 c2 a2 b2 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b a2 b2 c2 b2 c2 a2 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b
章末复习提升
学习目标 1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义， 会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值. 2.了解n个正数的平均值不等式，n维柯西不等式，排序不等 式.
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3.理解数学归纳法原理，会用数学归纳法证明与正整数有关 的等式、不等式、整除性问题和几何问题. 4.会用数学归纳法证明绝对值不等式、均值不等式、柯西不
(2)( 二 维 变 式 ) ：
a2＋b2 ·
c2＋d2 ≥ |ac ＋ bd| ，
a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3)(向量形式)： 设 α， β 为平面上的两个向量， 则|α||β|≥|α·β|， 当 α 及 β 为非零向量时，上式中等号成立⇔向量 α 与 β 共 线(或平行)⇔存在实数 λ≠0，使得 α＝λβ.
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2 2 2 2 2 2.三维形式的柯西不等式：(a2 ＋ a ＋ a )( b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3)≥(a1b1＋
a2b2＋a3b3)2. 3.定理 2：柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，
2 2 2 1 2 b2，b3，…，bn 为实数，则(a1＋a2＋…＋an) (b1＋b2 2＋…＋
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8.运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时， 项数发生什么变化被弄错. (2)没有利用归纳假设. (3) 关键步骤含糊不清，“假设 n ＝ k 时结论成立，利用此假
设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，
也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完 整，注意证明过程的严谨性、规范性.
2
a1 a2 2 1 bn)2≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|， 其中等号成立⇔b ＝b ＝…＝ 1 2 an bn. 4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.
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5.排序不等式：设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实 数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有： a1bn ＋ a2bn － 1 ＋…＋ anb1 ≤ a1c1 ＋ a2c2 ＋…＋ ancn ≤ a1b1 ＋
a2b2＋…＋anbn.等号成立(逆序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…
＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：逆序和≤乱序 和≤顺序和.
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6.数学归纳法及其原理
数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方
法.即先证明当n取第一个值n0(例如n0＝1)时命题成立，然后 假设当n＝k (k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时 命题也成立，那么就证明了这个命题成立 . 这种证明方法叫 做数学归纳法.
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专题二
利用柯西不等式求最值
【例 2】 已知 x＋y＋z＝1， 求 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3的 最大值.
解 由柯西不等式，得
( 3x＋1·1＋ 3y＋2·1＋ 3z＋3·1) ≤ 3x＋1＋3y＋2＋3z＋3· 12＋12＋12 ＝ 3（x＋y＋z）＋6· 3＝ 27＝3 3. 3x＋1 3y＋2 3z＋3 等号成立⇔ 1 ＝ 1 ＝ 1 ，
1 1 1 1 (a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a)a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a
≥(1＋1＋1＋1)2. 即
1 1 1 1 2(a＋b＋c＋d)a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a ≥16，
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2 2 2 2 16 于是 ＋ ＋ ＋ ≥ ， a＋b b＋c c＋d d＋a a＋b＋c＋d a＋b b＋ c c＋d d＋a 等号成立⇔ 1 ＝ 1 ＝ 1 ＝ 1 a＋b b＋c c＋d d＋a ⇔a＋b＝b＋c＝c＋d＝d＋a⇔a＝b＝c＝d. 因题设 a，b，c，d 不全相等， 2 2 2 2 16 故 ＋ ＋ ＋ > . a＋b b＋c c＋d d＋a a＋b＋c＋d
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专题一
利用柯不等式证明不等式
2 2 【例 1】 设 a， b， c， d 为正数， 且不全相等， 求证： ＋ a＋b b＋c 2 16 ＋ > . d＋a a＋b＋c＋d
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证明
构造两组数 a＋b， b＋c， c＋d， d＋a，
1 1 1 1 与 ， ， ， ， a＋b b＋c c＋d d＋a 则由柯西不等式得：
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即 3x＋1＝3y＋2＝3z＋3 设 3x＋1＝k， k－1 k－2 k－3 则 x＝ 3 ，y＝ 3 ，z＝ 3 . 代入 x＋y＋z＝1，得 k＝3. 2 1 ∴x＝3，y＝3，z＝0 时取等号.
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专题三
利用排序不等式证明不等式
【例 3】 设 a，b，c 为正数，求证：