2.3数学归纳法
情境导入
讲故事
从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。 先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉 是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里,儿子 就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”于是， 财主很高兴，把教书先生给辞退了。 有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。 可是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说： “你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸 了，才刚刚写完三千横！”
ak

1 k
,
当n=k+1时， 1
ak 1

1
a
k
a
k

1
k
1
1 k 1
k
归纳递推
既当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)知，an
1 n
(nN*)成立.（结论）
方法归纳
验证n=n0 时 命题成立
若n = k ( k ≥ n )0 时命题成 立 n=k+1时命题也成立
归纳奠基
归纳递推
3.数学归纳法证明命题的关键？ 在第二步推导中归纳假设要用到。
4.数学归纳法体现的核心思想？ 递推思想，用“有限”的推理，解决“无限”的问题。
布置作业：《课时训练》第19页 第1至10题
再见
归纳推理：
由部分到整体、由个别到一般的推理。
情境导入
问题： a n,对 若 a 1 1 ,于 a n 1 1 数 a n a n.问 列 a n ： ?
计算:
a1 1,
a2

1 2
,
a3

1 3
,
1 a4 = 4
猜想：
an
1 n
(nN*)
后面是否不成完立全？归纳法
验证:
(k1)2 242 2 0
2k2 (k1)2
证明目标
2k1(k1)2, 即nk1时, 命题成立。
由(1)(2)知, 当 n5时2n ， n2(nN*).
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？ 用于证明某些与正整数有关的数学命题。
2.数学归纳法证明命题的步骤？ (1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确； (2)假设当n取k时结论正确，推导n取k的下一个 值时结论也正确.
a5

1 5
,
a6

1 6
,
a7

1, 7
•••••••••
逐一验证，不可能！
看看下面的动画对我们解决问题有什么启示？ 人体多米诺骨牌
课题探究
问：多米诺骨牌全部倒下，必须具备哪两个条件？ (1)第一块骨牌倒下； (2)前一块倒下必导致后一块倒下。
条件(2)给出了一个递推关系，若第K块倒下，则 相邻的第K+1块也倒下.
4.当n＝k+1时，此时左边比n=k时多了几项？
(2k+2)，(2k+3)
.
当n＝k+1时，左边=
1+2+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).
巩固练习 用数学归纳法证明：
1 2 2 2 L 2 n 1 2 n 1 .(nN*)
1
对于 a n,数 若 a 1 列 1 ,a n 11 a n a n.求证a： n 1n (nN*).
1 (1 2k1) 2k1 1 =右边，
1 2
错因:没有用到假设！ 即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2)可知，等式对任何nN*成立。
能力提升 问题： 讨 论 2 n 与 n 2 的 大 小 （ n N *)
计 算 当 n = 1 ， 2 ， L , 8 时 2 n 与 n 2 的 值 ， 比 较 它 们 的 大 小 你能得到什么猜想？
证明:
(1)当n=1时，a1 (2)假设当n=k
1 =1= ,
命题成立（。 依据）
1 时，命题成立, 即
ak

1 k
,
当n=k+1时， 1
ak 1

1
a
k
a
k

1
k
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 k 1
k
归纳递推
既当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)知，an
1 n
(nN*)成立.（结论）
评讲练习
错解！ 用数学归纳法证明：
结论 命题对所有的正整数n ( n ≥ n 0)都成立。
两个步骤， 一个结论。
小组讨论
用数学归纳法证明：
1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) (nN*)
1.当n＝1时，左边= 1+2+3
；
2.当n＝2时，左边= 1+2+3+4+5 .
3.当n＝k时，左边= 1+2+…+(2k+1).
1 2 2 2 L 2 n 1 2 n 1 (nN*)
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 （2）假设当n＝k (kN*)时，等式成立，即
1 2 2 2 L 2 k 1 2 k 1
当n=k+1时 等比数列求和！
左边= 1 2 2 2 L 2 k 1 2 k
2
求证：当 n5时2n ， n2(nN*).
证明：(1)当n5时，25 52, 命题成立。
(2)假n设 k(kN*,k5)时命， 题成大立于，?即2k k2.
当nk1时，
左边 2k12k 2 k2 2 2k 2 , 右边 （k1） 2,
2k2(k1)22k2(k22k1)k22k1
根据(1)和(2)，可知对所有的正 整数n，猜想都成立。
1
对于 a n,数 若 a 1 列 1 ,a n 11 a n a n.
求证：an

1 n
(nN*)
分析:
(1)当n=1时，aa11

11 1

1 1
,
正确。
(2)若
ak

1 k
ak1aa 5342 k151341211
两个步骤可推 出 n 取所有正整 数都成立！
1 a2 2
a3

1 3
a4

1 4
1
对于 a n,数 若 a 1 列 1 ,a n 11 a n a n.求证a： n 1n (nN*).
证明:
(1)当n=1时，a1 (2)假设当n=k
1 =1= ,
命题成立（。 依据）
1 时，命题成立, 即
理解新知
问题：
计算： 21 12, 22 22, 23 32, 25 52, 26 62, 27 72,
24 42, 28 82
猜想：当n5时， 2n n2恒成立？
用数学归纳法证明，初始值从 5取起.
注意：在第一步中的初始值不一定从1取起, 证 明应根据具体情况而定.
课题探究
多米诺骨牌游戏原理
通过有限个步骤的推理， 证n取所有正整数都成立
（1）第1块骨牌倒下。
(1)当n=1时，验证猜想正确。
（2）如果第k块倒下时， 一定能导致第k+1块也倒下。
(2)如果n=（ k kN时*）猜想成立
ak

1 k
一定能推出当n=k+1时猜想也成立ak1

k
1 1
根据(1)和(2)，可知不论有 多少个骨牌都能全部倒下。