则命题T对一切自然数正确. .
证明 如果命题T不是对所有自然数都成立，那么使 命题不成立的自然数集合M就是非空集合，由定 理2，M中含有一个最小数k，且k>1(因为k=1命题
正确)，所以对一切n < k,命题T成立，又由（2）
推出命题T对k正确. 结论矛盾. 下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法 而不能应用第一数学归纳法解题的例子
命题3 若 b > a,则b a+1. (即数a与a+1是邻接的两个数，中间没有其他
自然数，不存在b，使得a+1>b>a. )
证明 若b > a,则b = a + k. 因为k 1，所以a+k a+1，即b a+1.
最小数原理
定理2 自然数的任何非空集合A含有一个最小数，
即存在一个数 a A ，使得对集合A中任意数b， 均有 b a .
证明 设M这样的集合：
对于M中任意元素 m M ，对A中任意元素a，均
有
am
,则M是非空集合.
因为1 M ，由归纳公理（4）知，一定存在一 个元素 m M . ， 但 m M ,即 m 1 M 可能.
否则由 m M m M 得M=N，这显然不
现在我们证明 m A . 因为若 m A 则A中任意元素a>m.
足够了: 但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是
不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳 法的严格证明.
定理1 如果某个命题T，它的叙述含有自然数，如果
命题T对n=1是正确的，而且假定如果命题T对n的正确性
就能推出命题T对n+1也正确，则命题T对一切自然数都成 立.（第一数学归纳法）
证明 设M是使所讨论的例题T正确的自然数集合，则 （1） 1 M .
，有
假设命题对 n k 正确，则
ak 3ak 1 2ak 2 3(2k 1 1) 2(2k 2 1)
= 3 2 3 2 所以命题对n=k正确.
k 1 k 1
2 2k 1
例3 已知对任意自然数 n N 均有
3 a i ( ai ) i 1 i 1 n n 2
那么当 k n 1 时,有
12 22 n2 (n 1)2 (12 22 n2 ) (n 1)2
= =
=
=
n(n 1)(2n 1) 6(n 1) 6 (n 1) n(2n 1) 6(n 1) 62 ( n 1)(2n 7 n 6) 6
数学归纳法及原理
数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然
数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n-1正确，
就能推出命题对
n 也正确，则命题对所有自然数都正
确. 通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也 正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有 自然数都正确. 对于中学生来说，这样形象地说明就
a m 1
所以 m 1 M ，与 m 1 M
所以m即为A中最小元素. 上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公 理，用它也可以证明数学归纳法，下面我们给出所谓第 二数学归纳法.（第二数学归纳法）
矛盾。
定理3 对于一个与自然数有关的命题T，若 (1)当n=1时命题T正确;
(2)假设命题T对n < k正确，就能推出命题T对n=k正确.
n( n 1)(2n 1) (n 1) 2 6 2
=
(n 1)((n 1) 1)(2(n 1) 1) = 6 所以公式对n+1也正确.
(n 1)(n 2)(2n 3) 6
在利用数学归纳法证明某些命题时，证
明的过程往往归纳到n-1或n-2，而不仅仅是
n-1，这时上述归纳法将失败，因而就有了第 二数学归纳法. 在叙述第二数学归纳法之前， 我们先证明几个与自然数有关的命题.
设 n M ，则命题T对n正确，这时命题对 n 1 n
也正确，即 （2）n M . 所以由归纳公理D，M含有所有自然数，即命题T对所 有自然数都成立.
例1 求证
n(n 1)(2n 1) 6 证明 （1）当n=1时，有 1 (1 1) (2 1 1) 2 1 1 6 所以n=1，公式正确. （2）假设当 k n 时,公式正确， 即 n(n 1)(2n 1) 12 22 n 2 6 12 22 n 2
但是
3 2 2 a ( a ) ( a a ) i i i k 1
2 ( ai ) 2 2( ai )ak 1 ak 1 i 1
k 1 i 1
k 1 i 1
k
k
k 1 i 1
i 1
命题1 若a > b,则a + c > b + c. 证明 因为a > b 所以 a = b + k a + c= b + k + c=（b + c）+ k 所以 a + c > b + c 命题2 1是自然数中最小的一个. 证明 若 a 1 ，则a有前元b，所以 b a , a = b + 1 ( a>1. )
(这里ai
0
)
求证 : an n 3 2 a1 a1 ，得a1 证明（1）当n=1时, 由 所以命题对n=1正确. （2假设 n k 命题正确，这时 当 n=k+1时， a , a k 1 1 a2 2
k
k 1 i 1a ( a ) a i i k 1 i k 1 i 1 i 1
例2 已知数列
3 an 3an1 2an2 且 a1 , a0 2 2 求证 ： an 2n 1
3 1 a 3 a 2 a 3 2 2 2 1 证明 对 n 1 ,有 1 0 1 2 所以命题对 n 1 正确。
a1, a0, a1, a2 an