为“能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方 程的作用”。
4． 第三学段内容
（1）明确几个概念 ①算术平方根。 ②最简二次根式。 ③掌握合并同类项和去括号的法则。 （2）增加几个具体的内容 ①能解简单的三元一次方程。 ②能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和
两个实根是否相等。
③了解一元二次方程的根与系数的关系(不要求应用这 个关系解决其他问题)。
义务教育的数学课程是学生未来生活、工作和学 习的重要基础。数学课程有助于学生掌握必备的基 础知识和基本技能；有助于培养学生的抽象思维和 推理能力；有助于培养学生的创新意识和实践能力； 有助于学生在情感、态度与价值观等方面得到发展。 教师要明确“数感、符号意识、空间观念、几何直 观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思 想”等重要概念的含义。
→有理数集（添无理数） →实数集（添虚数）→复数 集 ●中小学数学课程关于数的扩展过程如下：
自然数集（添零）→扩大的自然数集（添正分数） →算术数集（添负数）→有理数集（添无理数）→实 数集（添虚数）→复数集 ●这种数系扩展的方式：添加新元素法
●另一种扩展方式为构造法。这种扩展是科学的数
系的扩展，从理论上构造一个集合，即通过定义和 等价类来建立新数系，然后指出新数系的某一个子 集和以前数集是同构的。扩张顺序如下：
运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地 进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运 算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在 数学上得到不同的发展”。教学活动是师生积极参 与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学 活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的 主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作 者。”
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集
数系扩展应遵循的原则（设集合A扩展后得到集合B) ： （1） A 包含于B中， （2）A在B中保持与A中一致， （3）在A中不是总能施行的某些运算，在B中总能施
行， （4）在同构的意义下，B应当是A的满足上述条件的
最小扩展，而且由A唯一确定。
注：继往开数集
●自然数的基数理论 以原始概念“集合”为基础，利用基数的概念
来定义自然数及其加法、乘法、自然数的顺序。 验证加法和乘法满足算律。 定义1：一切等价集合（非空）的共同特征的标 志叫做基数。
●自然数的序数理论
完全采用公理化的方法，由两个原始概 念：“集合”、“后继”与四条公理为基 础，并且还使用“对应”的概念而建立起 来的（皮亚诺公理体系）。
=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的 实际问题”。（为什么：基本的常见的数量关系。 有利于解决问题能力培养。如何处理好常见数量关 系和非常规数量关系，提高学生解决一般问题能力）
④增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能 用字母表示”。
（2）使一些目标的表述更加准确和完整 例如将“会用方程表示简单情境中的等量关系”，改
定义2：任何一个非空集合N的元素称为自然数，若 N的元素间有一个叫做“直接后继”的基本关系 （即对任意a∈N,相应地有一个叫做a的直接后继的 元素a﹢∈N),且满足下面的公理：
（1） 存在一个元素，记作1，它不是N中任何元素的 后继元素；
（2）N中的每个元素a,有且仅有一个后继元素a＋； （3） 除1以外，任何元素只能是一个元素的后继元素； （4）（归纳公理）.若N的子集M满足：
① 1∈M; ② 当a∈M时，有a+∈M， 则M=N.
同样应用公理的方法定义自然数的运算法则，自 然数的顺序及自然数的算律。 ●自然数集的性质。 1~4 ●归纳公理是第一数学归纳法的理论根据。
第二节 整数集 （ 整数环（ Z ＋× ））
●相关概念：整除性 最大公因数 最小公倍数 带 余除法 算术基本定理 同余类 等-可以延伸到初等数论及近世代数的一些内容 ●数轴 （数形结合----点与数的对应） ●整数集的性质 1~~4
的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判 断”，修改为“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题， 并能对结果的实际意义作出解释”。
3． 第二学段内容
（1）增加的内容 ①增加“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达
自己的想法”。 ②增加“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和最
大公因数”。 ③增加“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价
第三节 有理数集 有理数域（ Q ＋×）
数与代数是中学数学教师最直接使用的一部分 教学内容，分为数系、解析式、方程与方程组、 不等式、函数五个部分。新课程标准规定了它的 教学目的，这部分内容不仅要具有科学性，而且 还要考虑教育性。我们的任务是就这五个部分的 教学内容进行内涵分析。
我们在教学中要时时记住：
“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数 学上得到不同的发展”。
初中数学教学内容的内涵分析 ------------数与代数
合肥师范学院数学系 金永容 jinyr-767 @
新课程标准中。。。
（一）数与代数
1． 内容结构 数与代数部分在内容结构上没有变化。 2． 第一学段内容 （1）增加“能进行简单的整数四则混合运算（两步）”。 （2）使一些目标的表述更加准确。例如将“能灵活运用不同
④知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。 （3）减少了部分内容 ①了解有效数字的概念。 ②能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等
式组，解决简单的问题。
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结 果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现 实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量 关系。
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展 的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的 统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的 组织者、引导者与合作者。”
第一讲 数系
数的概念的扩展
• 数系为什么要扩张?
• 数系如何进行扩张? • 数系扩张后的变化？
●数的概念的历史发展大体上按照以下的顺序： 自然数集（添正分数）→正有理数集（添负数和零）