22
张量分析
Tensor Analysis
x2
x1'
x2' x2
x
' 2
e2'
e2 e1'
x1' x1
e1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
x1
( i' , j 1,2 )
则：αi' j

ccooss((ee21''
,e1 ) ,e1 )
cos(e1' cos(e2'
标为哑指标。如：
ai xi (i 1,2, n)
a1x1 a2 x2 an xn
n i 1
ai
xi
又如： ii jj 11 22 33 x y z
11
张量分析
Tensor Analysis
1
求和约定仅对字母指标有效，如 33 z
Aij jk Aik
ij jk ik
ij jk kl il
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
18
张量分析
Tensor Analysis
§A－2 张量的定义和代数运算
1. 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 aiei

23

31 32 33
x xy xz
yx
y

yz

zx zy z
10
张量分析
Tensor Analysis
一．若干约定 哑标和自由标 1. Einstein求和约定
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表 示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指
(rot vr )z
1 (rv ) 1 vr
r r r
0
所以除原点有旋外，其他点的流体均作无旋运动
O
7
张量分析
Tensor Analysis
三、不参考本课程教案的前提下，请独立完成你认为学的最好或最有用的知 识点做15分钟的PPT。
答：我觉得以下内容学的比较好，因为可以更加深刻的理解高等流体力 中各种物理量的定义以及相关公式的推导。
=
1（ w 2 y

v z
）
2
=
1（ 2
u z

w x
）,3
=
1（ v 2 x
u y

）,于是 =i

ei

1（ w v 2 y z

）i



i jk
1（
u


w

）k
1（
v


u）j ,源自依据场论写成
=
1



u
=
1



2 z x
其中
S =sij

1（ ui 2 x j
+
uj xi
）称为应变率张量，是一个对称张量，
描述流体微团的变形运动。A=aij

1（ ui 2 x j

u j ）称为旋转率张 xi
量，是一个反对称张量。描述流体微团的旋转运动。把aij的三个
独立分量看作矢量的三个分量1，2，3，对应于1
2
度变化，此即速度分解定理。
6
张量分析
Tensor Analysis
利用速度分解定理分析下列两种现象 1.剪切流动速度场
y
ur
u ay
但是，因为：(rot vr )z a 0
vw0
x
o
所以其为有旋场，处处有旋，流体作有旋运动
2.点涡运动速度场
vr 0
v

b r
当 r 时0 ，
同样：xx12


1211''

1
2'
2 2'


x1' x2'


i '
j
T
xx12''

由（）式得
x1 x2


i '
j

1
xx12''

基矢量e1 e2 e3 ( 3个坐标方向的单位矢量）
1 任意矢量可以表示为基矢量的线性组合
2
基矢量不是唯一的
19
张量分析
Tensor Analysis
1 基矢量点积 ei e j δij
2 任意两矢量的点积
a b aiei bje j aibjδij aibi a jbj
所以任意一个二阶张量总可以分解为对称张量和反对称张量两部分
1
张量分析
Tensor Analysis
不理解的地方：令Bij

1 2
( Aij

Aji )后，为什么就有Bji

1 2
(
Aji

Aij )
既然这里A为任意二阶张量，那么应该还有
1 2
( Aji

Aij )=
1 2
( Aij

Aji )=Bij为什么就有了Bij
=B
j
，
i
这里i和j位置交换后对二阶张量Bij元素的排列难
道没影响吗？还有一点，令Cij
=
1 2
( Aij

Aji
)后，
为什么有
1 2
( Aij

Aji
)=
1 2
( Aji

Aij
)，而不是这样
1 2
( Aij

Aji )=
-
1 2
( Aji

Aij
)，还有C ji
=
1 2
( Aji

Aij
)
不太明白。 2
ei e j ij
ei' e j' i' j'
考虑一位置矢量
x x je j x j' e j'
x je j ei' x j' e j' ei'
x j cos(e j ,ei' ) x j' j'i' xi'
(
),ij

2( ) xi x j
uk ,ij

2u xi x j
13
张量分析
Tensor Analysis
3.自由标
定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi bj
j为自由标
j=1 a11x1 a12 x2 a13 x3 b1
14
张量分析
Tensor Analysis
A2
A3
Aj
j 1 j2 j3
ds2 dx2 dy2 dz2 dxidxi ij dxidx j
17
张量分析
性质：
Tensor Analysis
ijij ii 11 22 33 3
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
x y z
u
x




v

w
=

v x
v y
v w

=

y z

，式中
ui x j
或



v x
v y
v
w


w w w
w w w
x y z
)

1 2
( Aij

Aji
).
令
Bij

1 2
( Aij

Aji
), Cij
=
1 2
( Aij

Aji
)
则
1
1
Bij = 2 ( Aij Aji )= 2 ( Aji Aij )=Bji
Cij
=
1 2
( Aij

Aji )=
1 2
( Aji

Aij )=-C ji
从而Bij为二阶对称张量，Cij为二阶反对称张量
§A－1 指标符号
§A－2 张量的定义和代数运算
§A－3 张量分析
8
张量分析
Tensor Analysis
§A－1 指标符号
x1,x2 xn 记作 xi (i 1,2, n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数 指标 i 可以是下标，如 xi也可以是上标，如 xi
指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： a ji xi bj aki xi bj aki xi bk
15
张量分析
Tensor Analysis
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号
定义：
ij 10
当i j 当i j
由定义
1 0 0 11 12 13
I 0
1
0 21
22

23



ij

0 0 1 31 32 33