《计算方法》习题
习题一
1． 设85.9,64.3,23.1321===x x x 均准确到末位数字，试估计由这些数据计算
321x x x +的相对误差。
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----4170212153222352
32
31
4321x x x x 4． 用追赶法解方程组
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11
1141001410014
10014
4321x x x x 5． 设方阵
⎫⎛78
7
10
10．设A 为非奇异方阵，B 是任一奇异方阵，则
11
-≥±A B
A
11．若1<A ，则
A
A A I I -≤
---1)(1
12．证明
A
B A A B
A B -≤----)
(1
1
1cond
讨论以上方法在区间]6.1,3.1[上的敛散性，并选出收敛速度最快的迭代公式求根。
6． 用二分法求01.175.36.3)(3
=-+-=x x x x f 在]3,0[∈x 上所有的根。
习题四
1． 取T )0,0,0()
0(=x
分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组，要求保
留四位有效数字。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--10
52151023210321
321321x x x x x x x x x （2）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-+=+-12423311420238321321321x x x x x x x x x
1． 取T )1,1,1()
0(=x
，用幂法求方阵A 的按模最大的特征根以及相应的特征向量。
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=361641593642A
2． 已知对称三对角方阵
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=21001
210012
10012
A 在区间]0,2[-内有多少个特征根？
=⎪⎩
+=-i n n n j x x x 010.
1,)1( 4．设)(x f 为x 的n 次多项式，证明：当n k >时，0],,,[10=k x x x f 。
5．已知)(x f 的函数值9)2(,15)1(,3)1(,5)0(-=-=--=-=f f f f ，求次数不高于三次的Newton 插值多项式)(x N 以及)5.1(f 的近似值。
6．求次数不高于四次的Newton 插值多项式)(x N ，满足条件
,1)0()0(='=N N ,2)1()1(='=N N 3)3(=N
6． 求次数不高于三次的Newton 插值多项式)(x N ，满足条件
5)2(,2)1(,3)1(,2)1(==''='=N N N N
7． 求次数不高于三次的的新代数插值多项式)(x Z ，满足条件
9)2(,15)1(,5)0(,3)1(-==--=-=Z Z Z Z
8． 求次数不高于四次的的新代数插值多项式)(x Z ，满足条件
6)2(,5)1(,3)0(,2)1(,1)2(====-=-Z Z Z Z Z
习题七
1． 下面是一分段多项式
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤+-<≤++<≤+=10035.922325.04205.42222x x x x x x x x y
该多项式是否可作二次样条函数？ 2． 下面是一分段多项式
⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤≤+-<≤++<≤-=5314533252203922x x x x x x x x y
该多项式是否可作二次样条函数？ 3． 作一二次样条函数)(x s ，满足条件
4)2(,3)2(,7)1(,5)0(='===s s s s
4． 作一二次样条函数)(x s ，满足条件
2)1(,5)4(,3)3(,2)2(,2)1(='====s s s s s
5． 判断分段三次多项式
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-+-<≤+++<≤-+++=2
1123104107
5201752232323x x x x x x x x x x x x y 是否可作为三次样条函数？
6． 作一三次样条函数)(x s ，满足条件
4)4(,2)1(,3)4(,2)3(,2)2(,1)1(='='====s s s s s s
习题八
1． 将有理函数
1
+x 化成连分式形式。
5． 确定101,,A A A -，使下列积分公式的代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数
精确度。
)()0()()(10122h f A f A h f A dx x f h
h
++-≈--⎰
6． 确定21,x x ，使下列积分公式的代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确
度。
)](3)(2)1([3
1
)(211
1
x f x f f dx x f ++-≈⎰- 7． 用Romberg 积分法计算积分
⎰
1
dx e x ，精确到510-。
8． 确定下列Gauss 型求积公式中的系数和节点： （1）
)()()(ln
1
x f A
x f A dx x xf +≈
5． 分别用三步Adams 内插法求解，要求计算精度为5
10-。
[0,1]
(0)1
dy y t dt y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩
6． 分别用三步Adams 预估-校正法求解，要求计算精度为5
10-。
[0,1]
(0)1
dy y t dt y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩
7． 证明Euler 法的绝对稳定区域包含在四阶Runge-Kutta 法的绝对稳定区域内。