(2)光滑粒子流体动力学方法SPH 光滑粒子流体动力学方法SPH是近20多年来逐步发展起来的 一种无网格方法，该方法的基本思想是将连续的流体(或固体) 用相互作用的质点组来描述，各个物质点上承载各种物理量， 包括质量、速度等，通过求解质点组的动力学方程和跟踪每 个质点的运动轨迹，获得整个系统的力学行为。该方法类似 于物理学中的粒子云模拟，原理上，只要质点的数目足够多， 就能精确地描述力学过程。虽然在SpH方法中，解的精度也 依赖于质点的排列，但它对点阵排列的要求远远低于网格的 要求，由于质点之同不存在网格关系，因此它可避免极度大 变形时网格扭曲而造成的精度破坏等同题，并且也能较为方 便地处理不同介质的交界面。SpH的优点还在于它是一种纯 Lagrange方法，能避免Euler描述中欧拉网格与材料的界面问 题，因此特别适合求解高速碰撞等动态大变形问题。
1.沿垂向积分——浅水方程 在河口、湖泊、海湾及水库等具有开阔水面的水域，水平 尺度远大于垂向尺度。流速在垂直方向的大小和变化远远 小于水平方向的大小和变化，因此垂直方向的流速可用流 速沿水深方向的平均值来表示，从而推导出水深积分的二 维浅水方程(shallow water equation)。
2.沿展向积分——二维水库水温模型 沿水深积分的浅水方程适用于水深较浅的情况。当水库水深 较深时，水库水温会呈现分层现象，使得水温沿垂向具有一 定的温度梯度，这样沿水深积分的浅水方程就不再适用于深 水水库。对于水库水温分层问题，可以沿河流展向(宽度方向) 对N-S方程进行积分，得到立面二维积分方程组，其一般形式 为
(2)黎曼稳定分析 另一种差分格式稳定性分析方法是经典的方法。这种方法通 过引入博里叶级数，求解并判定误差放大系数的绝对值是否大 于1，来判定格式是否稳定，假定第N时间步误差(在实际中这个 误差可能由截断误差、机器进位误差等诸多原因导致)在空间上 可展开为傅里叶级数。选取I节点处某个特定误差组分 E Ae (18.91) j 为虚数，为 1 K A 式中， x方向的波数；为对应该误差项的幅 度系数。
第十八章 计算水力学基础
本章学习要求： 理解水动力学基本方程与边界初始条件； 掌握微分方程的离散方法； 理解有限差分法； 理解对流—扩散—源汇方程的差分格式；
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18.1 水动力学基本方程与边界初始条件 18.2 微分方程的离散方法 18.3 有限差分法 18.4 对流—扩散—源汇方程的差分格式
18.1.3渗流控制方程
18.1.4物质输运扩散方程 水利工程中的物质输运现象主要包括两类问题水环境中污染 物的对流扩散运动与河道中的泥沙运动。前者主要针对可溶 物质随水流的运动特性，后者针对悬浮在水中的泥沙颗粒(可 视为可溶)与底床上的泥沙体(不可溶)随水流的运动特性。这 里简要介绍这两类物质输移现象所满足的控制方程。 （1）对流-扩散-源汇方程 （2）泥沙运动方程组
18.1 水动力学基本方程与边界、初始条件
水动力学基本方程和边界、初始条件一起构成了对一个水 力学问题的完整的数学描述。水动力学基本方程一般描述 水体的运动过程中基本动力学属性（如流速、水深、压强 ）的变化特征，目前有不同的控制方程可以描述水体的流 动规律，如描述一般流体运动的最基本的N—S方程，在此 基础上简化的水深平均平面二维浅水方程、一维圣维南方 程、考虑多孔介质影响的地下水流动系列控制方程等。通 过求解水体运动控制方程，一般可以获得水体不同位置的 流速分布和空间变化。本章将从液体运动所满足的基本方 程（N—S方程）出发，介绍计算流体力学中常见的基本方 程。
Te (
(18.82) 这个截断误差项反映了用离散点来计算导数所带来的误差， 它既给出了差分格式的精度(即误差项中Ax的最低阶数)， 也给出了每个误差项的具休表达式。
)i i i 1 x xi 1/ 2
18.3.2 差分格式的稳定性分析 (1)启发式稳定分析 对二个导数建立差分格式可以用于估算该导数在某节点的 导数值。同一导数存在无数可能的差分格式，每种差分格 式的精度不尽相同。在精度相同的情况下(如对二阶导数分 别采用前差分与后差分格式近似)，不同差分格式的误差特 性也不会相同，这可以通过观察与分析截断误差来确定。 一般情况下，对导数建立差分格式的最终目的是求解由多 个导数组合而成的偏微分方程。因此，还需要进一步了解 差分格式在求解偏微分方程时的整体表现，这样就需要综 合分析每二个差分项的截断误差组合后的整体表现，而稳 定性分析则是在用差分方法求解非恒定问题时最为重要的 步骤，因为一个不稳定的格式即便精度很高，在计算过程 中将很快失稳，导致计算误差指数级的放大。
18.2.4 其他离散方法简介 (1)格子Boltzmann方法 格子Boltzzmann方法是一种基于统计物理的介观方法。它从 介观角度出发，以分子运动论和统计力学为理论基础，用简 单规则的微观粒子运动代替复杂多变的宏观现象，通过建立 离散的速度模型，在满足质量、动量和能量守恒的条件下得 出粒子分布函数，然后对粒子分布函数进行统计计算，得到 压力、流速等宏观变量。
3.沿截面积分——一维圣维南方程 现在考虑河道中的水流，占主导地位的流动方向是沿河道 方向(流向)，而沿河道展向(横截面方向)的流动较弱。在此 情况下，可以沿河流展向(横截面方向)对平面二维浅水方程 进行积分，河流展向的流动信息以展向积分的形式出现在新 方程中。这样就得到了一维圣维南方程组，其矢量形式为
（1）隐式格式 （2）显示格式 （3）数值震荡抑制格式 （4）时间分裂格式 （5）经典差分格式数值特性
18.4 对流－扩散－源汇方程的差分格式
18.2.5代数矩阵求解 采用隐式格式建立的差分格式联立求解多个偏微分方程 组(如浅水方程或者采用有限元方法求解偏微分方程时， 都不可避免地会遇到求解大型的问题。矩阵求解在线性代 数及数值分析的课程中都有详细阐述，在这里仅就几种常 见算法做简要介绍。 （1）Gauss-Seidel法与Jacobi法 （2）超松弛迭代法 （3）共轭梯度法
n i n jkx (ix )

x
18.3.3有限差分的经典格式与数值特性 怎样的差分格式才能是“好”。的格式呢?事实上，在实际 计算中并没有一个非常好的标准去判断那种差分格式最优。 但一个可行的格式必须是稳定的，这种稳定可以是无条件 稳定，也可以是在一定条件下的稳定，但不能像FTCS那样 无条件不稳定的。在精度方面，一般情况下一阶精度是基 本要求，因为一阶精度意味着差分格式的误差项与网格大 小x线性相关，也即当 x 0 时，差分格式的解趋于原创微 分方程的解，这称为算法的二致性，是对任何近似算法的 最低要求。有时会要求更高的精度，那就需要采用更多离 散点来建立分格式和它们的计算特性差分格式。为了更好 地认识这个问题，仍以对流方程为例，介绍二些经典的差 分格式和它们的计算特性。
（18.2）
（2） 边界条件与初始条件 N—S方程一般用于模拟复杂流动现象，包括有压流和无压 流，以及这些水流和结构物的相互作用。 对于有压流动问题，需要给定计算区域各个边界上满足 的条件。下面以经典平面二维圆柱绕流问题为例给出有压 流动常见的边界条件，如图18.1
(a)入流边界：u=常数，或u=u(t),v=0 (b)出流边界：du/dx=0,dv/dx=0,dp/dx=0（假设流动已经 充分发展，出流边界处趋于稳态）。 (c)固壁边界：u=0,v=0 （液体在壁面处无滑移运动，考虑 了液体和壁面的粘性作用，包括计算区域上、下边界和 结构物的边界）。
18.1.2积分降维类方程 N-S方程反映了水力学现象的三维流动特性和细节，但数值 求解难度较大。实际水利工程中大量的流动现象具有二维 (如水库、湖泊)或一维(如明渠流)特征，因此，在计算水力 学中可以针对水力学问题的流动特性対N-S方程沿坐标轴进 行积分处理，这样就可以将三维N-S方程降维到二维或一维 的积分方程。下面，将分别介绍沿垂向积分类(即水深方向)、 沿展向积分类(即河宽方向)、沿断面积分类方程组(即水深和 河宽两个方向)。
18.3有限差分法 18.2.1节中介绍的有限差分法的基本思想是，将微分方程 中各项"微商"用"差商"代替，从而形成差分方程。本节将 介绍差分方程的数值特性和些经典的差分格式。 18.3.1差分格式的误差与精度 不同的差分格式具有不同的误差特性，这可以通过分析 其被截断的高阶项(截断误差)的特征来获得，截断误差定 义为拟求解导数与差分表达式之差。以前述的后差分格式 为例，其截断误差为：
18.2微分方程的离散方法 上节介绍了计算水力学基本方程组和边界、初始条件。这些 基本方程组均由偏微分方程组成，一般不能求解解析解，往 往只能求解数值解。本节简要介绍求解这些微分方程组的数 值方法，包括有限差分法、有限体积法、有限元法等。有限 差分法是目前使用最为广泛的方法，这里仅简要介绍其基本 思路，具体内容将在18.3节中详细阐述
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18.2.2 有限体积法概述 有限体积法(简称FvM方法)可以认为是差分格式在一个有限 控制体内的积分形式。如果说差分格式是以泰勒级数展开 为理论基础，通过节点运算近似求解当地导数，那么有限 体积法则是以一系列相邻的控制体为单位，通过施加变址 守恒约束来求解变量的时空变化规律。
18.2.3有限元法概述 不同于有限差分法近似偏微分方程中的导数项、有限体积 法近似偏微分方程的导数积分项，有限元方法(linire el.ment mahod，简称FEM方法)直接近似偏微分方程的解。有限元法 通过使用逐段光滑函数来分段近似偏微分方程的真实解。类 似于有限体积法，有限元方法一般也能灵活使用不同的几何 形状作为计算单元，因而可以较好地适应不规则边界。传统 上有限元法更当地应用于与结构力学及固体力学相关的计算， 近年来也有不少用于流体计算，尤其是地下水问题的计算。
18.2.1有限差分法概述 有限差分法是所有数值求解偏微分方程的方法中最为常见的 一种，其研究思路是，首先将连续的时空解域离散为有限的 时空节点，然后在这些节点上通过节点本身的值及相邻节点 的值来近似表达拟求解偏微分方程中不同阶数的导数。有限 差分法的核心理论基础是任意连续函数(如某偏微分方程的真 解)上的任意点的函数值均可表示为其相邻点的函数值与在该 点上各阶导数级数形成的无限级数之和，即泰勒级数展开理论， 该理论保证了该函数的任意阶导数都可以用有限相邻离散点 上的函数值通过代数运算来近似。为了更好地说明这一点， 以给定函数(x) x 为例，说明如何采用有限差分格式建立该 函数的一阶导数 / x与二阶导数 / x 的数值近似。