第 1 章 绪论
1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：
x1 1.1021 , x4 56.430 , x2 0.031 , x5 7 1.0 . x3 385.6 ,
2. 求方程 x 2 56 x 1 0 的两个根，使它至少具有 4 位有效数字
( x) x m( x)* f ( x) ，
证明： 当 m( x*)
1 1 时， 迭代公式 xk 1 ( xk ) 是一阶收敛的； 当 m( x*) 时， f ' ( x*) f ' ( x*)
迭代公式 xk 1 ( xk ) 至少是二阶收敛的． 7. 常数 A 的 m 次根可由对方程 x A 0 或 1
（1）

3
5. 若 f ' ' ( x) 0 ，证明用梯形公式计算积分 何意义。 6.用梯形公式及辛普森公式求积分

b a
f ( x)dx 所得结果比较精度值大，并说明几

1 0
e x dx 的近似值。估计误差.
7. f ( x) 在[-1，1]上有二阶连续导数，
（1） 写出以 x0
1 3
, x1
1 3
为插值节点的 f ( x) 的一次插值多项式 L1 ( x) ；
（2） 设想要计算

1
1
f ( x)dx ，以 L1 ( x) 代替 f ( x) ，写出求积公式；
（3） 写出其代数精度。
第四章 非线性方程求根
1. 用二分法求方程 x x 1 0 的正根，使误差小于 0.05．
初始向量取 x0 0, 0, 0, 0, 0 ，求精度满足 x2 的近似解．
T
12. 设
1 a a A a 1 a， a a 1
（1）若 A 为正定阵， a 应为哪些值？ （2）对 a 取哪些值，求解 Ax b 的 Jacobi 迭代法收敛？ （3）对 a 取哪些值，求解 Ax b 的 Gauss—Seidel 迭代法收敛？
4 1 0 1 （3） A 1 4 1 ， b 1 0 1 4 1
6.设向量 X (1, 2,3, 4)T ，计算 || X ||1 ， || X ||2 ， || X || .
1 2 7.设矩阵 | A , 计算 || A ||1 ,|| A || . 3 4
dy 2 xy ． dx 1. y( 0 )
3. 取步长 h 0.1 ，分别用 Euler 方法及改进的 Euler 方法求解初值问题
dy y (1 xy ), 0 x 1, dx y (0) 1.
4. 证明: 改进的 Euler 法能精确地解初值问题
4 1 0 1 0 0 2 1 4 1 0 1 0 1 0 1 4 0 0 1 2 ，b ， A 4 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 4 1 1 0 0 1 0 1 4 2
m
A 验证它们 0 用 Newton 迭代法求得， xm
相应的 Newton 迭代格式分别为
xk 1
1 A (m 1) xk m1 ， m xk
xk 1
m 1 xk 1 (m 1) xk ． m A
8. 设 x * 为 f ( x) 的 m 重零点，若将 Newton 迭代法修改为
2
2. 若将方程 x x 1 0 写成下列几种迭代函数形式，求不动点附近的一个根，并建立
3 2
相应的迭代公式． （1） x 1 ( x) 1 x ；
3 2
（2） x 2 ( x) 1 （3） x 3 ( x)
1 ； x2
1 ． x 1
试判断由它们构成的迭代法在 x0 1.5 附近的收敛性．选择一种收敛的迭代法，求在 1.5 附 近有 4 位有效数字的根， 3. 给 定 函 数 f x ， 设 对 一 切 x ， f x 存 在 且 0 m f x M ， 证 明 对 于 范 围
8. 设 A
100 99 ， 99 98

（1）计算 A
和 A 2；
（2）计算 cond ( A) 和 cond ( A) 2 ．
9. 设有方程组 Ax b ，其中
10 4 4 13 （1） A 4 10 8 ， b 11 ， 4 8 10 25; y ， y (0) 1
证明其数值解为
yn (
固定 x ，取 h
2h n ) ， 2h
2. 用 Euler 公式和改进的 Euler 公式分别求下列初值问题的数值解(取步长 h 0.1 计算到 y 3 )：
x ，证明： h 0 时， y n 收敛于原初值问题的精确解． n
x
x ln x
2. 4 x 4 上给出 f ( x) e 的等距节点函数表，若用线性插值求 e 的近似值，要使截 断误差不超过 10 ，问使用函数表的步长 h 应取多少？ 3. f ( x) x x 3x 1 ，求 f [2 ,2 ,,2 ]及f [2 ,2 ,,2 ].
dy 2x 3 y , dx y (0) 1 .
其中， 0 x 0.2 ，取步长 h 0.1 ．
2 x1 3 x 2 5 x3 5 （2） 3 x1 4 x 2 7 x3 6 ． x 3x 3x 5 2 3 1
2. 用矩阵的 LU 分解求解方程组 AX b
5 7 9 10 1 6 8 10 9 1 . A ,b . 7 10 8 7 1 5 7 6 5 1 4.用追赶法求解三对角方程组 Ax b ，其中
1 1.25 5.79 1.756
2 1.50 6.53 1.876
3 1.75 7.45 2.008
4 2.00 8.46 2.135
xi yi
yi
8. 给定如下数值 x
0
1.5
1
2
f(x)
1.00
2.50
1.25
5.50
（1） 求函数 f(x)的差商表； (2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式 N3 ( x) 。
y ' ax b , ． y (0) 0 .
6. 试用欧拉格式
y n1 y n hf ( xn , y n ) ，
和梯形格式
h y n1 y n [ f ( xn , y n ) f ( xn1 , y n1 )] ， 2
建立一个预报—校正格式，并用此格式计算
13. 给定线性方程组
2 x1 10 x2 x3 4 8 x1 x2 x3 1 ，通过调整方程顺序，建立收敛的高斯-塞得尔迭带格式， x x 5x 3 3 1 2
取初值 X (0) (0,0,0)T , 试计算X (2) .
习
1. 用梯形法求解初值问题

783 27.982 。

第 2 章 函数插值
1. 给出 f ( x) ln( x) 的数值表
x ln x
0.4 -0.916291 0.7
0.5 -0.693147 0.8 -0.223144
x
0.6 -0.510826
-0.356675 用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值。
第三章 数值积分
1. 分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分： （1）
x 0 4 x 2 dx ， n 8 ；(2)
1

9 1
x dx ， n 4 .
2. 若用复化梯形公式求积分

1 0
e x dx ，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有
效数字？ 3. 给定求积公式,试确定求积系数，使之代数精度尽可能高。 (1) (2)
xi yi
用最小二乘法求形如 y a bx 的经验公式。
2
7. 设数据 ( xi , yi )(i 0,1,2,3,4) 由表 3-1 给出， 表中第 4 行为 ln yi yi , 可以看出数学模型 为 y ae ，用最小二乘法确定 a 及 b 。
bx
i
0 1.00 5.10 1.629
x k 1 x k m
f ( xk ) ， (k 0 ， 1， ) ， f ' ( xk )
a 0 ，导出求 a 的迭代公式，并用此公式求 115 的 x2
证明：此迭代格式具有 2 阶收敛速度． 9. 应用牛顿法于方程 f x 1 值． 10. 证明迭代公式
x k 1
7 4 0 1 7 0 1 8
6
4. 求 一 个 次 数 不 高 于 4 次 的 多 项 式 P( x) 使 它 满 足 P(0) P(0) 0 ，
P(1) P(1) 1, P(2) 1 。
5. 证明若 F ( x) f ( x) g ( x) ，则 F[ x0 , x1 , xn ] f [ x0 , x1 , xn ] g[ x0 , x1 , xn ] 6. 已知实验数据如下： 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8
2 xk xk 3a ， 2 3x k a


是计算 a 的三阶方法．假定初值 x 0 充分靠近根 x ，求 lim
*
x

a xk 1

a xk
．
3
第五章习题