2018年港澳台联考数学（真题）
一：选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.
1.已知集合{}{}{},5,4,2,6,2,1,6,5,4,3,2,1===B A U ，则()=B A C U ( )
{}5,4.A {}6,5,4,3,2,1.B {}5,4,2.C {}5,4,3.D
2.要得到x y cos =，则要将x y sin =的图象（ ）
.A 向左平移π个单位 .B 向右平移π个单位
.C 向左平移2π
个单位 .D 向左平移2π
个单位
3.设i z 2321+-=，则=+z z 2
（ ）
1.-A 0.B 1.C
2.D
4.若函数1)(2+=ax x f 图象上点())1(1f ，处的切线平行直线12+=x y ，则=a （
） 1.-A 0.B 41
.C 1.D
5.已知α为第二象限的角，且43
tan -=α，则=+ααcos sin （ ）
57
.-A 43.-B 51.-C 51
.D
6.已知0>+b a ，则（ ）
b a A ⎪⎭⎫
⎝⎛<212. b
a B ⎪⎭⎫
⎝⎛>212. b a C 22.< b a D 22.>
7.甲，乙，丙，丁，戊五人站成一排，甲不站两端的概率（ ）
54
.A 53.B 52.C 51
.D
8. 函数)23ln()(2+-=x x x f 的递增区间是（ ）
()1,.∞-A ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1.B ⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,23.C ()∞+.2.D
9.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,4和⎪⎭⎫
⎝⎛-54,3，则椭圆的离心率=e （
）
562.A 56.B 51.C 5
2.D 10.过抛物线x y 22=的焦点且与x 轴垂直的直线与抛物线交于N M ,两点，O 为坐标原点， 则=⋅ON OM ( )
43.A 41.B 41.-C 4
3.-D 11.若四面体的棱长都相等，则相邻两个侧面所处二面角的余弦值为（ ） 41.A 31.B 21.C 3
2.D 12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3,481==S S ,则=+++1211109a a a a （ ）
8.A 6.B 4.C 2.D
二：填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分.
13.坐标原点关于直线06=--y x 的对称点的坐标为 .
14.已知三棱锥ABC O -的体积为1，111,,C B A 分别为OC OB OA ,,的中点，则三棱锥111C B A O -的体积为 .
15.多项式()()4
311x x +++的展开式中2x 的系数为 （用数字作答）. 16.过点()1,3,2-且与平面053=-+-z y x 和平面032=-+z y x 都垂直的平面方程 为 .
17已知关于x 的多项式123+++ax x x 被2+x 除的余式和被2-x 除的余式相等， 则=a .
18.在长方体1111D C B A ABCD -中，G F E AA AD AB ,,,8,41===为111,,DD B A AB 的中点，H 为 11D A 上一点，11=H A ,求异面直线FH 与EG 所成角的余弦值 .
三：解答题：本大题共4小题；每小题15分，共60分.
19. 在ABC ∆中，角C B A ,,对应的边为c b a ,,，ABC ∆外接圆的半径为1，
且()()B b a C A sin sin sin 222-=-
(1)证明：ab c b a =-+222; (2)求角C 和边c .
20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2,0,2111=+⋅>=++n n n n S S a a a .
(1)求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）求12221111+++++++n n S S S S S S 的值.
21.已知双曲线的方程为14
122
2=-y x ，21,F F 为双曲线左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过坐标原点的圆.
(1)求曲线C 的轨迹方程；
(2)若动点P 在曲线C 上运动，点M 满足MP M F 21=,求点M 的轨迹方程.
22.设函数)(x f 的定义域为R ,0)0(≠f ，任意R x x ∈21,,有)()()2()2(212121x x f x x f x f x f -+=+.
(1)求()0f ； （2）求证)(x f 是偶函数 （3）若()0=πf ，求证)(x f 为周期函数。