高级中学高三数学（理科）试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1、已知集合A={x ∈R||x|≤2}，B={x ∈Z|x 2≤1}，则A∩B=（ ）A 、[﹣1，1]B 、[﹣2，2]C 、{﹣1，0，1}D 、{﹣2，﹣1，0，1，2}【答案】C 解：根据题意，|x|≤2⇒﹣2≤x≤2，则A={x ∈R||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}， x 2≤1⇒﹣1≤x≤1，则 B={x ∈Z|x 2≤1}={﹣1，0，1}，则A ∩B={﹣1，0，1}；故选：C ．2、若复数 31a i i-+（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A 、3B 、﹣3C 、0D 、 【答案】A 解：∵=是纯虚数，则，解得：a=3．故选A ．3、命题“∃x 0∈R ， ”的否定是（ ） A 、∀ x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0 B 、∀ x ∈R ，x 2﹣x ﹣1＞0 C 、∃ x 0∈R ， D 、∃ x 0∈R ，【答案】A解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“∃x 0∈R ，”的否定为：∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0．故选：A4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ） A 、18 B 、20 C 、21 D 、25 【答案】C 解：设公差为d ，由题意可得：前30项和S 30=390=30×5+ d ，解得d=． ∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29× =21．故选：C ．5、已知二项式43x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为32，则a=（ ）A 、8B 、﹣8C 、2D 、﹣2【答案】D 解：二项式（x ﹣）4的展开式的通项为T r+1=（﹣a ）r C 4r x 4﹣r，令4﹣ =0，解得r=3，∴（﹣a ）3C 43=32，∴a=﹣2，故选：D6、函数y=lncosx （﹣＜x ＜）的大致图象是（ ）A 、B 、C 、D 、【答案】A 解：在（0， ）上，t=cosx 是减函数，y=lncosx 是减函数，且函数值y ＜0， 故排除B 、C ；在（﹣，0）上，t=cosx 是增函数，y=lncosx 是增函数，且函数值y ＜0，故排除D ，故选：A ．7、 若数列{}na满足*12(0,)N n n n a a a n+=刮，且2a 与4a 的等差中项是5，12n a a a +++L 等于( B )（A ）2n （B ）21n - （C ）12n - （D ）121n -- 8、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 、1 B 、 C 、 D 、 【答案】B解：由三视图知几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形， 四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1， ∴四棱锥的体积是．故选B ．9、设a ＞0，b ＞0，若2是2a 与2b 的等比中项，则的最小值为（ ）A 、8B 、4C 、2D 、1 【答案】C 解：∵2是2a 与2b 的等比中项， ∴2a •2b =4，∴a+b=2， （a+b ）=1， 而a ＞0，b ＞0，∴=（）（+）=1++≥1+2=2，当且仅当a=b=1时取等号．故选：C ． 10、若函数f （x ）=2sin （ ）（﹣2＜x ＜10）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则（+）•=（ ）A 、﹣32B 、﹣16C 、16D 、32 【答案】D 解：由f （x ）=2sin （）=0可得∴x=6k ﹣2，k ∈Z ，∵﹣2＜x ＜10∴x=4即A （4，0） 设B （x 1 ， y 1），C （x 2 ， y 2）∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点∴B ，C 两点关于A 对称即x 1+x 2=8，y 1+y 2=0则（ +）•=（x 1+x 2 ， y 1+y 2）•（4，0）=4（x 1+x 2）=32故选D 11、已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A 、（1，2）B 、（2，+∞）C 、（1， ）D 、（，+∞）【答案】C【解析】【解答】解：如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx=45°， 设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1， 又上述渐近线的方程为y= x ，则＜1，又e=，∴1＜e ＜，双曲线的离心率e 的取值范围（1，），故选C ．12、已知函数f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（）A、2B、3C、4D、5【答案】B解：由k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，得：k＜，（x＞1），令h（x）= ，（x＞1），则h′（x）= ，令g（x）=x﹣lnx﹣2=0，得：x﹣2=lnx，画出函数y=x﹣2，y=lnx的图象，如图示：∴g（x）存在唯一的零点，又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，∴零点属于（3，4）；∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，而3＜h（3）= ＜4，＜h（4）= ＜4，∴h（x0）＜4，k∈Z，∴k的最大值是3．二、填空题：（每小题5分，共20分）13、若x，y满足则z=x+2y的最大值为________．【答案】2解：由足约束条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=﹣+ ．要使z最大，则直线y=﹣+ 的截距最大，由图可知，当直线y=﹣+ ．过点A时截距最大．联立，解得，∴A（0，1），∴z=x+2y的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．14、已知向量=（1，2），⊥（+ ），则向量在向量方向上的投影为________．【答案】﹣解：由⊥（+ ），则•（+ ）=0，即2+ • =0，则• =﹣丨丨2，向量在向量方向上的投影为=﹣丨丨=﹣=﹣，故答案为：﹣．15、斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若△AOF的面积是△BOF面积的2倍，则k=________．【答案】2【解析】【解答】解：∵S△AOF=2S△BOF，∴y A=﹣2y B，①∴设AB的方程为x=my+1（m＞0），与y2=4x 联立消去x得y2﹣4my﹣4=0，∴y A+y B=4m②，y A y B=﹣4③由①②③可得m= ，∴k=2 。

16、定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t s s t-+的取值范围是 .【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t ss t -∈--+.三、解答题：17、（本小题满分12分）已知函数 （其中ω＞0），若f （x ）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． (1)求y=f （x ）的单调递增区间；(2)在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c 满足（2b ﹣a ）cosC=c•cosA ，则f （B ）恰是f （x ）的最大值，试判断△ABC 的形状． （1）解：∵ ，=，∵f （x ）的对称轴离最近的对称中心的距离为，∴T=π，∴ ，∴ω=1，∴．∵得：，∴函数f （x ）单调增区间为；（2）解：∵（2b ﹣a ）cosC=c•cosA ，由正弦定理，得（2sinB ﹣sinA ）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin （A+C ）， ∵sin （A+C ）=sin （π﹣B ）=sinB ＞0，2sinBcosC=sinB ，∴sinB （2cosC ﹣1）=0，∴ ，∵0＜C ＜π，∴，∴，∴．∴，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1，此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形。

18、（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，这50路段为中度拥堵的有18个．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B 至少一个路段严重拥堵”，则P =（1﹣P（A））3=0.729．P（B）=1﹣P（）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271．（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X 30 36 42 60P 0.1 0.44 0.36 0.1E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．19、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，E是CB 1上的点，且BE⊥平面ACB1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣C的平面角的余弦值．证明：∵在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AC，∵直角三角形边满足AC=BC，∴AC⊥BC，又BC∩BB1，∴AC⊥平面BB1C．（Ⅱ）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，∴2AC2=4，解得AC=BC= ，B（0，，0），A（），B1（0，，2），C（0，0，0），=（﹣，，2），= ，设平面BAB1的法向量=（x，y，z），则，取x= ，得=（1，1，0），，设平面AB1C的法向量=（a，b，c），，取b= ，得=（0，，1），设二面角B﹣AB1﹣C的平面角为θ，cosθ=cos ＜＞= =20、已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．(1)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；(2)一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；(3)直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2 ，使△ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．（1）解：因为，所以，所以，又因为|AB|=1，所以，即：，即，所以椭圆的标准方程为．（2）解：直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程，得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由△＞0，得（*），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则（1）以PQ直径的圆恰过原点，所以OP⊥OQ，，即x1x2+y1y2=0，也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，将（1）式代入，得﹣+4=0，即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，解得，满足（*）式，所以．所以直线方程为y=± x+2（3）解：由方程组，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以，因为直线l：x=ty+1过点F（1，0），所以S△ABE= |EF|•|y1﹣y2|= ×2× =令= =2 ，则不成立，故不存在直线l满足题意。